CHAPITRE XII

d'oii il suit que tous les termes (A) où k est pair, pourront s'exprimer au moyen des quantités (3), (4)> (6), (10).

1 17. Venons maintenant aux quantités où k est impur. On aura, par Vap« plication des équations (D) et (C), ces six conditions :

(29) = (l)~(2) + rf,

(25) = (7>-(i4) + ^, (2i) = (9)-(i8) + rf,

(19) = (11) - (aa) + d,

(17) = (i5) - (a6) + rf.

Ensuite les équations (E) et (C) en fourniront quatre j savoir :

(0 + (ai) -(19) -(5) = ^, (5) + (a3)-(i7)-(9)=:rf, (7) + (37) -. (i5) - (ar) = 4,

(9) H- (29) - (") - (»7) = '^^ Mais ces quatre conditions se réduisent aux deux suivantes:

(,3) = (3) + (7) - (9) + a(a) - a(6) - (lo) + d.

Enfin l'équation (F) donnera deux conditions qui , en vertu des relations

déjà trouvées, se réduisent à une seule, savoir :

(9) = (3) + (3) - (6) - i (10) + d. De là on voit qu^avec les quatre données impaires (1), (3), (5) , (7), jolhtes aux quatre données paires (2), (4)> (6), (10) , on pourra achever de détermijner toutes les transcendantes désignées par (k). On aura en efièt, pour les termes impairs , ces expressions :

(M) = (1) - i (loj + d,

(,5) = (5) - i (lo) H- d,

(i9) = (,)-(a) + nio)H-rf,

(ai) = (3)-(a)4-iOo) + '', {a3) = (7) + (a)-.(6)-(io) + rf,

(27)=:(5)-(6)+rf,

(a9) = (i)-.(a) + rf.

46o ITfTÉGIlALES EUI£RIERN£5,

Quant aux termes où k est piir , n<m8 avons donnj d-^essns lenr exprcM où il ne reste plus à sabsdtaer que la valeor (13) = (a) — j^to)-^d. I tft. Remarquons que le nombre des transcendaDtes nécessaires pour terminer toutes les autres, étant aommtf N, on aura

pour n = la, M =5 2 = V C* — •) (' — î)» pour B Œ 34, H = 4 =^ (i— ï) (ï— î)> pour n = 60, W = 8 e=^ (»— ï) ('— t) (»—?)•

Dans cette formation du nombre N, le &cteur r est dû à Téquation (C)

&cteur(i — {)à Fëqualion (D), le bcteur (i -~})i l'équation (£), et le fi

teur (i -^ j) à l'équation (F).

En gméral, à »,€,y, etc., sont les nombres premiers in^ux qui di

sent N, on aura

«rî(— 00- J) (■-;)'-•■

nombre qui exprime comlnen il y a de nombres premiers à n et numidi que|n.

Cette loi a été vérifiée dans plusieurs autres exemples, et il y a lii de croire qu'elle est vraie en général; d'où il suit qu'étant donné 1 nombre quelconque n , on peut trouver immédiatement combien il fa

de termes delà suite T -, T -, T-.... r "-~ - . pour détermina- tous I autre».

Ainsi si l'on rdulaît consbniire avec le moins de données possible , ui table des fonctions Ta pour toutes les valeurs de a, de millième en mîllièm depuis a =0.001 jusqu'à a^i .000, on pourrait le faire en supposai connu un nombre de termes de cette suite=ï 5oo.^.*= aoo. Si au lit de donner aux valeurs successives de n, le dénominateur commun iOo< on leur donnait le dénominateur io5o, qui a pour fitcteurs premiers : 3,5, 7 , le nombre des termes nécessaires serait ^^^ . ^ , -J . ♦ . | ^ la^ Ainsi il ne faudrait que 1 20 termes pour en déterminer algébriquemei io5o, et la Table ne serait guère moins 6idle à interpoler que dans l'aut cas.

iig. On sait de cette manière combien il Êiut de transcendantes po)

déterminer toutes les autres; mais il n'est pas aussi &cile de prévrâr quelli

sont, pour chaque valeur de n, ces transcendantes. Dans le cas de r^6<

on aurait pu penser que ces quantités, dont le nombre est fixé à huit, poi

■ vaient être les huit premiers termes de la suite T ^, F ^, T^, etc