CHAPITRE XIII

Propriétés générales des Coefficiens différentiels de la fonc log Fx.

lai. jJ^Apais le théorème de TurL 39, si Ton &it

on aura

5 = VT, o„ ^-^ = -T.

Mais par TéquatioD (5) on a T = j.,^J-it ou logy^slrp-^tr^~~lr(p-\

donc

dirjp + g) dlrp -p __ r>f-'dxii—^)

*'Cp+î) 'k» J i—x'

Mettant r«a lieu dep +? , on aura l'ëquation

rflog rr diogrp rdx j^ — x'

~~s dp ■ —J T ' ~r^x ' c

à laquelle on peut donner aussi la forme

Jlogr(i + r) rflogr(i+;>) rjxf — xQdx . dr dp J 1—*

l*intégrale du second membre est piîse àFardiDaire entre les limites a; s=

Isa. Soit D=so et rvs^a, le coefficient différentiel — iiX£^ ;^ , . "^

duira — C d'après la formule (lÔ); ainsi ou aura

c'est rexpressiou du premier coefficient différentiel de la fonction lc^r(i-^i Ce coefficient pourra se déterminer exactement lorsque a sera un noml: rationnel, puisque sa râleur est composée de la constante connue— G

GHAPITRE Xin. 46S

d'une intégrale définie qui ne dépend que «des arcs de cercle et des 1(^rithmes.

Soit alors a = —, et soit a:=^", on aura

Cette dernière intégrale étant désignée par B., on aura

par conséquent pour toute valeur rationnelle a= —, le coefficient diffé-* tiel \ ' aura pour expression

da » a ■'

ce qui donne aussi

Quant à la valeur de B», on trouve par les formules connues que son expression générale est, en faisant a» =: - :

h^zzz- cûcot mcû^ — log /}---- cos277iailog(2smû))-----cos4'7}û^log(2sin:aû))----e^^^ le dernier terme devant être — - cos (/i — i)mœ log fa sin ■ "^ eoj , si n est

impair, et cos m^ log 2 , si /i est pair ; mais il faut observer que cette

valeur suppose m ^n. Dans le cas contraire, il faudrait séparer de la différentielle — •^— -v> ^^ partie entière qu'elle contient, et l'intégrer dans les limites ^ = o , ^ =s i . Le reste de cette différentielle représenté par

— • * 3"^» ? *^"rai* P^wr intégrale la quantité B^.

La même opération peut être faite d'une autre manière, en diminuait successivement la valeur de a jusqu'à ce qu'elle devienne plus petitiC x^e l'unité. On a pour cet effet les formules T(i^d)^ssaTay T(a^a)zs (i +a) aVa^ etc. , d'où l'on tire

dir{i + a) I dlTa .

da *"~ a da '

d^ — i+a"'"^"'" da ' etc.

464 DfFÉGRALES EUI^RIEEWES ,

laS. Si on dMgne par ^(«)la Mouiie de la suite harmonique.....

I «f- - + I+7* •••*!"*> OD aura par Part. 8a y

La fonction ^ (a) sera donc aussi exprimée par l'intégrale définie

Cette expression se vérifie immédiatement lorsque a est un nombre entier. En efiet, dans ce cas <m anra •

et l'intégrale de ce polynôme^ prise depuis x = o jusqu'à xssz i, donne la

suite 1+^ + 5 + ^ défflgnée par p(d).

Ce résultat étendu & toutes les valeurs de a , en vertu de la ocMitinaité delà fonction 9 (à), aurait suffi pour donner l'expression de ^(a) en intégrale définie , et de là celle du coefficient diflfêrentiel 17* > qu'on aurait trouvée ainsi sans le secours du théorème de l'art. 39.

ia4- Il résulte de la formule précédente que^ toutes les fi>Is que le nombre a sera rationnel , la somme p (a) de la série harmonique pourra être exprimée par le moyen des arcs de cercle et des logarithmes , ce qui est un théorème assez remarquable.

Pour avoir la valeur effective de (p (a) dans le cas dont il s'agit^ on observera d'abord que par la natupe de cette fonction, on a

d'où il suit que la détermination de la fonction ç(a) se réduira toujours à celle d'une pareille fonction dans laquelle a sera plus petit que l'unité.

Soit alors, as— , /ti étant ^ /i, et on aura^ comme ci-dessus ».

Les cas les plus simples peuvent être calculés directement par le moyen de l'intégrale définie» Ainsi on trouve

CHAmBEXUL 465

Lorsque a est inâtiiment petit y ou aura Cette valeur se déduirait aussi de la formule

dp ddlof^rÇ^i+a)

dont le second membre se réduit à S« ou -g- lorsque a =: o (art. 18).

La fonction ^(à) dégroit donc continuellement depuis a= i jusqu'à azsiOy elle est ^le à i dans la première limite ^ et à zéro dans la se-* conde.

Nous remarquerons qu'Euler a donné la valeur de ^(7) dans*lBon Gilcul différentiel, page 81 4» mais d'après une suite infinie qu'il ne dbmme que dans ce cas particulier.

I a5. Si l'on différencie logarithmiquement les équations (G), (D), (£), etc., on aura diverses relations entre les coefficiens différentiels de même ordre de la fonction TÇx). Et d'abord l'équation (C) donne

dira dlT(i—d) ^ ,„.

Ainsi le coefficient différentiel , . J^^ peut se déduire du coefficient

différentiel -^9 que nous regardons comme son complément.

Cette équation fidt connaître la différence de deux coefficiens qui sont complémens l'un de l'autre , et elle a l'avantage de donner cette diffiirenoe pour toute valeur de a rationneUe ou irrationnelle.

L'équation (Ss) donnerait pour la même différence, cette valeur

dira dlr(i—a) rdx «»-«—«•

da d{i —a) J s * i — * ^

donc on a

•& *^JZ^—S^ coi OTTy (56)

466 UNTÉGRALES EULERIEKNES,

fionnale qui a lieu pour toute valeur de a, et qu'il est aisé de vérifier lorsque a est rationnel. Cette formule s'accorde entièrement avec celle du n^ 35. ia6. Diflerenciant de même l'équation (D)^ et diangeant x en a, on

aura

dira , fl«r(i+a) arf/r(2a) ^y^

Le premier membre se compose de deux diSerences qui se déterminent par l'équation (3a) , et dont les valeurs sont

dlVa dl V (aa) Pdx x^ — x*

da d (aa) "j * * i — x ^

dlr{ï + a) dl r (aa) rdx x** — yî -^^

d{ï + a) d(aa) '~J x " i — *

Donc en faisant les substitutions, on aura la formule

'dx «- + *^"''*— 2*»* , ^ — =:a/x

De l'équation (B) on déduirait semblablement la formule

et ainsi des autres.

Ces formules peuvent aussi se mettre sous la forme suivante :

et Von peut remarquer qu'elles sont toutes contenues dans la formule générale

fysf^dx nx*^'Jx\ j , ,

1 27. Ce résultat est facile à vérifier lorsque a est un nombre entier. En eflFet, appelons F(a) le premier membre de l'équation précédente; si à la place de a on met a -|- 1 9 on aura

Itfais

/x^dx X* , rx^'-^dx ^ rru^^-^^^dx x"* , r/Jx"*"* = *— I ■ / -: et 1 -r— es— • — -I- /