CHAPITRE XIIL

Faisant x= i dans les parties hors du signe , et retranchant une intégrale de l'autre, on aura F(a+ i)s=:F(^), et par ccmséquent F(a)=F(i). Mais lorsque a = i ^ on a

faisant ensuite x= i , on aura F(i) = /ii- donc F(a) = In. La formule générale est donc démontrée lorsque a est un nombre entier.

128. Supposons maintenant azsz^ ^p et q étant des nombres entiers, si Ton fait x =/^, on aura

FW=/(^-'^). •

intégrale qui devra toujours être prise depuisj'so jusqu'à jrszi.

Si l'on faisait^' = z, la valeur de F(a) pourrait se mettre sous la forme

c'est*à-dire que F serait la différence de deux intégrales de même forme et prises entre les mêmes limites ; d'où il semble qu'on devrait conclure que F est nulle. Mais il faut observer que les intégrales dont il s'agit sont toutes deux infinies, et que leur différence, qui peut être finie, dépend de la relation qui existe entre z et^, et ne peut être trouvée que lorsqu'on aura écarté les infinis de part et d'autre.

Pour cela , je remarque que p et ç étant toujours supposés des nombres entiers, on a, par les règles de la décomposition des fractions rationnelles,

IN étant un dénominateur qui ne s'évanouit pas lorsque ^ =: i • On aura donc l'intégrale indéfinie

/{jr) étant une fonction àejr exprimée en arcs de cercle et logarithmes, laquelle est nulle lorsque j^=so, et ne devient pas infinie lorsque j^= i. On aura semblablement

f{z) étant la même fonction de z op^efljr) est de^. De là résulte l'intégrale

468 INTÉGRALES ElJLÉRIENIŒS,

indéfinie

F=/(i^+yCr)-/(»)j

OU, en mettant/? à la place de s,

Maintenant si l'on fait / s= i , comme on peat préalablement mettre — -^^

sous la forme x +J^ "f^/** • «"f^T*"*» <^^ ^^^^^ 1& valeur cherchée

F(a) = fo,

de sorte que la fôrmule générale est démontrée a priori pour toute valeur rationnelle de a.

I ag. O>nsidéron8 encore l'intégrale prise depuis x s o jusqu'à x^ i^

si on la met sous cette forme composée de trois parties

la première partie en vertu de l'équation (55)« . .ss — G — - Z'a^ la seconde s= log #71 ; il reste donc à trouver la troisième partie

et on aura T= — G — Z'a + log iw + V.

Lorsque n est très grand, on a Z' (i + '^) = log n y et par conséquent

■ <£r = G -f- log /». Mais la formule (Sy) donne en général

donc

Mettant x^ au lieu de Xj les limites de l'intégrale seront les mémes^ et on aura

Adx I «î ds\ V