CHAPITRE XV

le sens positif. La première sera comprise depuis ^ = o jusqu'à âf =s «— i , la seconde depuis or = — i jusqu'à a: =■ — - a , ainsi de suite.

D'après l'équation précédente , on voit que la fonction T (*— ^) est négative dans toute l'étendue de la première période, et qu'elle est infinie aux extrémités de cette période.

Si dans la même équation l'on met i +^ à la place de ^, on aura r(— I— 3:)g=— 7-^r(— jr)=: , ' r(i~j?);

d'où il suit que la fonction r(*— a) est positive dans la seconde période, depuis a ^ I jusqu'à a=2 , et que dans ces deux limites, elle est infinie.

Mettant dans cette dernière éqqation t -f-*^ au lieu de x^ on aura encore

^^~^""^^==r»+*Ka+*)^^~'^^==~*ci+*)(aV*)'

d'où il suit que la fonction r( — d) est négative dans la troisième période, depuis a =3 jusqu'à a=3y et qu'elle est infinie dans ces deux limites.

En continuant ainsi, on voit que la fonction r(— a) sera infinie pour toutes les valeurs entières de â , et qu'elle sera alternativement positive et négative dans les périodes successives.

i4i* La courbe dont les ordonnées représentent r(,r), est donc composée, dans le sens négatif, d'une infinité de branches séparées par des asymptotes perpendiculaires à l'axe des x, et menées successivement aux distances x = o, — I, —3, —5, etc. Oîs branches qui touchent chacune des asymptotes, sont situées alternativement d'un côté et de l'autre de l'axe, de sorte qu'il y a dans chacune un point où la fonction F est un minimum,

La fonction Ta étant supposée connue pour tonte valeur positive de a, on en déduit aisément par les formules précédentes, l'expression de toute fonction de cette sorte où a est négatif; soit en efiet i un entier quelconque, et xun nombre moindre que l'unité, on aura en général

OU encore

r/' i -çN — (-')"- r*r(i— 4P) IQ AC— «j— r(/t4-i+*) •

Cette dernière formule se déduirait directement de l'ëquation (C) T. IL 79

478 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

dam laquelle mettant Ar -|- i + x au lieu de â9, on trouve

Ces formules s'accordent parfiaiitement avec les résultats que donneraient les autres équations (D), (E), (F), etc., en y changeant le signe de x. Elles offrent conséquemment la théorie complète des fonctions Fa pour toute valeur négative de a.

1421. Pour confirmer cette théorie, nous allons démontrer, d'après la va-

leur générale du coefficient — ^h- , que la fonction T n'est susceptible que

d'un minimum dans le sens positif, mais qu'elle en admet une infinité dans

le sens négatif.

En effet, si l'on &it log r^= Z, on aura (art. 91)

Jra

Lorsqu'on &it ofss i ou x < i , la valeur de ^ est négative; lorsqu'on £Eiit Jtasa, on a