CHAPITRE XVI

Construction et usage de la Table des logarithmes des fonctions T.

i45« J^ous nous sommes proposé de calculer jusqu'à la décimales, une Table des Logarithmes de la fonction r(i -4*^)9 ^^ donnant à x toutes les valeurs de millième en millième, depuis a=o jusqu'à ^=1. Yoiâ comment ces calculs ont été iàits.

Comme les séries qui servent à calculer les différences successives de la fonction log Tx, sont moins simples et moins convergentes que celle qui donne immédiatement la valeur de cette fonction, nous n'avons point fait usage des différences , et nous avons calculé directement chaque terme par la formule (24) , 6t pour les cas où x est très petit ^ par la formule

logr(i+j:) = — /(i +Jc) + Ba:+B.j:*— Bjar^+B^x*— etc.

On a calculé ainsi les valeurs de log r(i H*^)? depuis xsso.ooi jusqu'à j:=o.a5o; ces valeurs ont servi dans chaque cas à déterminer leurs complémens au moyen de la formule

On a donc obtenu à la fois les valeurs de log Ta^ depuis a= i «oco jusqu'à a = I .aSo , et depuis a = i .760 jusqu'à a = a*ooo.

Au moyen de ces valeurs qui composent déjà la moitié de la période, on a trouvé les valeurs de log Fa depuis a= i «SyS jusqu'à â= i .6:25 ce qui forme un troisième quart de la période , par les formules

m — ^^ — 4'r(i+4r) •MîzifL) ^ ^ » "^^ •" r(i +a*)" • oosM '

48o INTÉGRAUX EULÉRIENNES ,

dans lesquelles on a donné à a? les valeurs successives depuis jr=so.ooi jusqu'à JC = o«ia5.

La seconde des équations (45) jointe à l'équation (44) > donne les formules

r(i-|- J?) = \ji\ V . p — ,

au moyen desquelles on a déterminé log Ta depmsAs: i.aSo jusqu'à a=z 1 .3i3, et depuis us i,688 jusqu'à ii= 1.750.

Pour achever de calculer le reste de la période, on a passé des formules (46) aux formules (45), et ainsi alternativement, jusqu'à ce qu'on eût les valeurs de 1<^ Taj qui s'approchent le plus des limites des deux suites qui sont i ^ d'un côté , et i j de l'autre.

i44* A chaque l(^rifhme de la Table, on a joint ses difierences pre-* mière, seconde et troisième. Ces différences marchent avec la régularité nécessaire pour garantir l'exactitude des calculs ; elles serviront à foire reccmnaître et à corriger les foutes , s'il s'en était glissé dans l'impression ; de sorte qu'avec tous ces secours, on peut regarder les transcendantes F oonune étant connues avec un degré de précision plus que suffisant pour toutes les applications qu'elles peuvent recevoir. Il fout maintenant entrer dans quelques détails sur les interpolations auxquelles donnera lieu l'usage de cette table.

Soit, pour abréger, A = log Tu, et soient cTA, J^*A, J^'A les différences successives de A , telles que la Table les donne , en supposant que les valeurs de a croissent continuellement d'une quantité tf=o.oof. Pour avoir le terme X qui représente log r(ii-f-cpj:), on aura la formule

X = A + ^(/A + ^ (cT-A 4- ^ (cT'A, (47)

dont le calcul se fera de la manière suivante :

Étant donnée la valeur de x qui sera toujours plus petite que l'unité ,

on calculera le terme — ^ — J^'A jusqu'à la douzième décimale seulement,

et on formera , en observant les signes, la quantité /'A — (~r^ ) J^*-Al ,

qu'on pourra appeler, comme ci-dessus (page 36), /a différence seconde corrigée, et qu'on désignera par J'^Ax. On calculera de même jusqu'à la