CHAPITRE m

de fitrf, on convienne que chaque terme Ua"d" sera remplacé par «•. '^^' Dans cette hypothèse , on aura successivement

U'=Ue-^, V'=V'e^, W'zsVe^, etc.j de là résultent les différences premières ,

cTU =U(e«^-.i),

etc.; celles-ci donnent les différences secondes,

etc. ; et en général on aura

Au moyen de cette formule, la différence finie d'un ordre quelconque de la fonction U peut s'eiprimer par les coefBoiens difi^rentiels de cette même fonction. En effet si on suppose

(e» — . I )» = ar» ( I + A*x+ A"«» H- A""ar« + etc. ), on aura en même temps

690. Réciproquement on peut exprimer les coeffidens différentiels ^r »

•^ , -^ y etc. , d'une fonction U , par le moyen des différences finies de

cette fonction , prises en donnant à la variable (f l'accroissement constant a.

Pour cela je réduis l'équation symbolique /U ss V (e^ — i)àla

forme

cTssc^— i; j'en tire

et aUd ou

«.^ = Ulog(i + J^).

Cette noavelle équation suppose qu'après svcnx développe le seoedd iiieni^

44 COIHSTRUCnON BES TABLES ELLIPTIQUES ,

bre suivant les puissances de J^/ chaque terme UJ^ sera remplacé par la différence J^U; on obtiendra ainsi

a^ŒcTU — icT-U + IcT^U — i J^U + etc.

C'est la formule connue qui sert à exprimer le coefficient différentiel d^une fonction par les diffisrences successives de cette fonction. Ainsi a étant assez petit pour que la suite des différences JVy «T'U, J^'U, etc., soit très

iitJ

convergente , on déterminera le coefficient ^z- avec toute l'exactitude qu'on peut désirer.

6gi. Si dans l'équation symbolique a ^ = U log (i -f* ^) 9 on met

j- à la place de U, on aura d'où résulte

On aurait de même «• ^ = U P (i 4- «T), et en gënëral ,

de sorte qu'un coefficient différentiel quelconque -^ peut s'exprimer &-

cilement par les diffîrences finies de la fonction U , en supposant connu le développement de /" (l -|-«) , qui désigne la puissance » de /(i -f-^)- En effet si l'on a /" (i +x) ou

«■(i— î«+i«*— ^a:»+etc.)-5=x-(i— N'ar+N"a:*— N"«jc»-f-etc.), on pourra en conclure

«• -^ =3 «r-U — W«f"+»U H- W/'+'U — etc.

09a. Supposons maintenant qu'on ait li=s/ud(p ou 5j-=ii, la valeur de au exprimée par les di£fêrences successives cTU, cT^U, «T'U, etc., sera

«i = cfU— icT'U + i cf*U — etc.

Dans le cas où l'on veut construire une Table des valeurs de U , la quantité u est connue pour chaque valeur de *, et en faisant varier « de