CHAPITRE in

a y on connattra les diiTërences successives de u. D'après ces différences , il sera possible de déterminer en général la valeur de cTU.

En effet • soît on = p et 77 — ; — r ou

; , '. ^ r = I + *'^ + A'V + k'^x^ + etc. ,

1— 4* + |*^"" etc. I • I 17

l'équation précédente donnera

^V^p + k^Sp^ k'^^p + k!"i^p + etc.

Ainsi i'u se déduit des quantités données p, S'p ^ S'^p y etc. , par une suite dont la loi est connue.

Cette même suite donnerait les différences ultérieures cT'U , J^'U , etc. y par les formules

cT'U = ciy -f. ki^^p ^ k'^^p + etc. , cT'U = S'y + A^cT'^E? + etc.

Mais ces suites^ pour déterminer J^U, J^'U, J^'U, etc., peuvent être rendues plus convergentes par un moyen très simple.

693. Soit (^ ce que devient la fonction Uy lorsque au lieu de 9 on met 9 + i ^ 9 on aura suivant la notation précédente ,

^ = u{i+Syy pourvu qu'après avoir fait le développement du second membre suivant

les puissances de eT, on remplace chaque terme li/" par -j^ .

De là résulte av ^ ottt (1 + J^)*> et parce que on = U/ ( i + J^) ,

on aura

ai; = U(i+cr)^ /(i+cT).

IVlais en effectuant le développement jusqu'aux x^ y on a

(i+x)-/(i+x) =x-^ X» 4-^x4 -j2ija:»+^x«-. etc.;

donc

«„ = JVU — J!, «T'U + -V <r<U — -21. jv»u + 4^ <r»U— etc.

a4 '24 1990 ' goo

Conservons le premier terme iTU de ce développement, mais substituons dans les termes suivans la valeur U= U^ + J^U'', nous aurons

Dans cette suite , conservons les deux premiers termes cTU — -7 cT^U® , et"

substituons dans les suivans U** + J^U** à la place de U* , nous aurons de nouveau

Cette suite prend ainsi une forme très convergente, mais il reste à s'assurer de la loi que paraissent indiquer les premiers termes, et à déterminer d'une manière générale celle de leurs cocfliciens. Il faut donc faire voir qu'au moyen des coefliciens /i% ri' ^ n!"y etc., dont la loi sera déterminée, on aura généralement

ap = cTU — Ti'cf ^U^ + n'^cT^U*- — w'V'U^^- + etc.

694. Reprenons pour cet effet l'équation symbolique a -^=U/(i4- J^) ouaM = U/(i+J^), on en tire

Mab d'un autre côté on a

donc

TTo ^ TToo -« ^ TJ^><><* ^ etC •

nui"

De là on voit que la suite «TU — «'«T'U» + «"«T'U"" — etc. , est représeutée par

Si donc on veut que cette suite soit équivalente à etv qui est représenté par au(i +o)*> il &udra qu on ait l'équation identique

/ (i + «r) = — i-r— »'. — ^+»".— ^-,- «"'. — ^H- etc.