CHAPITRE III. /f

Soit "x"! ^™ *** '^ second membre devient z — »'j3* + n'V — etc. , et le premier se réduit à a/ [^ z + \/{i + i 2*)]. Or on sait que

et qu'ainsi la quantité a log [7 s + |/(i + ;ç a*)] se développe en cette suite ,

^ 2 •372~"*"r4*5.2*""a.4.6-^a"^ -f-etc;

donc l'équation supposée a cfTectivement lieu en donnant aux coeffîciens »' , n" , n'" , etc. , les valeurs

donc on a en général,

r,j. I l^3U« , 1.3 i^su^o 1.3.5 Z'U»'»*» , , «. = crU--.3-^.+^.^;^-^-^.-^-^ + etc.,

série qui procède suivant une loi évidente, et dans laquelle chaque coefficient est moindre que le quart du précédent.

695, Si on fait ap=:P, et qu'on désigne par P*, P**, etc., ce que devient la fonction P lorsqu'au lieu de ^ on met cp — a, ^— aa, etc., on déduira de l'équation précédente une valeur de cTU de la forme

cTU = P + m' J^-P*» + m"J^P^ + m'^'J^T^*»*» + etc. ,

et les coefficieus mf, /»", m'", etc., se déduiront des coefliclens »', n", /z'", etc., au moyen du développement de la fraction

7 — ; — îA m^ 1 > = 1 + '»'^ + 'w"x' + m'"x^ + etc. ,

I — n X + /i X» — »*x3 •+■ etc. * '

de sorte qu'on aura

etc.

Ainsi la valeur de cTU s'exprime par la fonction P, au moyen de l'équation générale

J^U=:P + ^ cT'P - gl.J^«f*po.. + ^ <r'P-- etc.,

laquelle pourrait être continuée , suivant la même loi , aussi loin qu'on voudra.

6g6. L'ëquation par laquelle la fonction av se déduit de U, peut être représentée ainsi ,

«t.' = 2U /[icr+v/(i+i<r»)],

pourvu qu'après avoir développé le second membre suivant les puissances de J\ on change UJ^, UJ^', UJ*, etc., resi>cctivement, en cTU , J^U*, «T^U*»^, etc.

Au moyen de cette équation , on en peut former d'autres non moins remarquables.

Désignons par V (p^jct) ce que devient la fonction U ou U (9), lorsqu'au lieu de ^ on met ^ + î « ; alors on aura p = — ^ > ®^ ^'^ quation précédente donne

>'^(y^*) = 3u/[ij-n/(,4-icr-)].

Dans celle-ci mettons encore ^ + t ^ &u lieu de ç , nous aurons

diSérentiant de part et d'autre par rapporta 9, et observant que 17(^4* a) n'est autre chose que Li', on aura

ou en substituant dans le second membre la valeur de — , s Mettant dans celle-ci ^ — ot au lieu de ^ , on a enfin

Supposons donc qu'on ait 4^* [ » J^ + V^(i +i J^')] > °"

rJ^-i £L4.i:i ^i:ii« -^^etcY = J\. N'J^« + NV« — N'V» H- etc. j et la vraie valeur de ** ^j déduite de notre équation symbolique, sera