CHAPITRE XVII. 5o

nombre de termes suivans, rendent très difficile le calcul par la formule (53) de la fonction Z , pour une valeur de x aussi petite qu'on Ta supposée , et la difficulté augmenterait toujours à mesure que œ serait suppose plus petit.

169. Pour obvier à cet inconvénient, on pourrait faire usage de la méthode des quadratures; mais on peut aussi, par d'autres formules, éviter ces calculs de quadrature, qui sont toujours très longs, surtout dans le cas dont il s'agit , si l'on voulait obtenir un certain degré d'approximation. Et d'abord la formule (5o) donne, pour le cas de â = o,

ZX *,2* 2.3x , 7i.3.ix ^ '•i^y^x

= --.-.4--^--^ + -^-elc., (55)

formule qui sera d'autant plus convergente dans lej premiers termes, que z sera plus grand. Mais comme le n'^"^ terme de cette série est égal au précé-

dent multiplié par , on voit que la suite deviendra divergente dès

qu'on aura n — i >> z. Ainsi, dans le cas de 2=10, dont nous avons déjà parlé, la suite sera divergente dès le douzième terme.

Pour apprécier le degré d'exactitude que donnerait la formule, dans le cas dont.il s'agit, il faut obsei;ver.que dans une suite telle que la précédente, qui doit s'arrêter aux termes à peu près égaux T — T', la somme totale est connue, à une différence près de 7 T environ. En général, soit a: = e""" ou z=:n, l'erreur sur la valeur de Z aura pour limite. .. .

-x = J. — . e^\ ce qui donne en logarithmes

vulgaires log 6 = — a/w/i— ^ /» + î ^t^> ^ étant le module 0.434^9 , etc. Il s'ensuit que la valeur de Z déduite delà formule (55) sera exacte jusqu'à la décimale de l'ordre A:, si l'on a A: = 2mn + j In — t't^> et par conséquent si — mn ou log a: = — J A: + J / — .

L'approximation obtenue par la formule {55) est donc de plus eu plus grande, à mesure que z est plus grand ou x plus petit; elle donne neuf décimales exactes pour la valeur zc= 10 ou x = o.oooo454y mais à me* sure que x augmente , l'approximation diminue et devient bientôt insuffi* santé, comme on l'a vu dans le cas de x = 0.0 1 ( art. i6a).

n nous reste à démontrer une troi^ème formule dont l'application s'étend depuis les plus petites valeurs de x jusqu'à celles qui permettent d'employer avec avantage la formule (53). Cette troisième formide, qui s'exprinie en fraction continae^ est commue depuis loBg-tempt des Analystes; mais

I 2.3.4 i»-^i 1 rit

5p8 INTÉGRALES EULÊRUNNES^

ils ne se sont point occupés d'en rendre le calcul fiMale^ m de fixer le degié de précLûon dont elle est susceptible , suivant le nombre de temaes auquel on veut s'arrêter.

§ m. Expression de VIrUégnUe T{a^x) en fraction coniimm.

170. G>nsidérons en général la fonction ZssT (a ^ x)=yV^'«£r, dans laquelle nous supposerons a positif et plus petit que l'uiûté^ <x qœ l'on peut toujours obtenir par l'application de la formule (48) ; Fint^iralç Z étant prise à compter de ar=o, la quantité s'^*, où a— - 1 est négatif, sera plus grande pour la dernière valeur de x que pour les valeurs précédentes, de sorte qu'on aura toujours Z=z'*'"*xTy T étant en géoéral une quantité plus petite que l'unité, mais qui se réduit i l'unité lorsqu'on suppose X infiniment petit. Si l'on di£Pérencie cette équation et qu'on substitue les valeurs dl^s^t^rr^dx ^ dxss^^xdz^ on aura , pour déterminer T, l'équation difierentieile

qu'il conviendra de mettre sous la forme suivante, en fiûsant s i^ I,

171. G)nsidérons plus généralement l'équation diflSk*entielIe

5^ + — x-4-CC — xî = o, (57)

dans laquelle a et C sont des coefficiens constans; si l'on fait ^= i -f-A-^', on aura la transformée

ç»(at' + *ç . ^) - (« -I- ^x + (i - <)*Cr' - A-C'T"

Le coefficient k étant arbitraire , on peut faire A:= ot 4- C ; alors divisant tout par AÇT'* , on aura

Cette transformée est entièrement semblable à la proposée, puisqu'on Élisant flt':= 1 — et, . C'zisa'-jr Cy on peut la mettre sous la Ibnoe