CHAPITRE XVII. 5o
Ç'rfT' «'Ç+l . if,;. L — o
et on aura en même temps k = €',
172. 11 suit de là que, par des substitutions répétées , on obtiendra des transformées successives en T', T' , T'", etc., qui seront liées entre elles et dont les coefficiens seront déterminés par les équations suivantes:
ir = I 4- ^CT', a' = 1 — «, €' = <t + €,
iy = 1 + €"XT", a"'= 1 — a, €"'=z , 4. « + C, ~» = I + e^ÇT", a"= a, e"= a 4- €, etc.
On pourra donc exprimer la fonction T par cette fraction continue
T=i:(i+(«+0:ÇO+0+OÇ:(i+(i+*+C)Ç:(i+(a+C)Ç:(i+etc., (58)
où il &ut remarquer que les dénominateurs des fractions composantes sont tous égaux à l'unité, et que les numérateurs forment la suite
(«+0C, (i-l-OC, (»+* + eX, (3 H- ex, (a + «+eX, etc.,
dont la loi est telle, que les termes croissent alternativement de (i — ct)^ et de aÇ".
Celte expression sera l'intégrale de l'équation difierentielle (^7), si toutefois la fonction cherchée T doit se réduire à l'unité lorsque ^ = o.
175. Cette condition étant remplie dans l'équation proposée (56), il y aura lieu de lui appliquer la formule (58); c'est pourquoi faisant as i -— a^ ^=0, on aura, pour Pintégrale générale Z = /z*""'d[r, cette expression en fraction continue :
Z=a:a-':(i+(i-a)C:(i-K:(i-K2-aX:(i+aÇ:(i-K5-«X4-etc.,(59)
où l'on voit que les numérateurs des fractions composantes forment la suite (i — o)Ç, Ç, (2 — «)Ç, aÇ", (5 — fl)Ç, 5Ç, (4 — «)Ç, etc., dont les termes croissent alternativement de^Ç et de (i— fl)C.
$ IV. Application à P Intégrale r(o, x).
174* Maintenant si l'on fait âs=o, on aura, pour le cas particulier de l'intégrale Z= / — , cette troisième formule
5io nVTÉGRALES EULÉRIENNES ,
Z=xÇ:(i4-Ç:(i+f:(i+2Ç:(i+aC:(i-4-5Ç:(i-f-etc. (60),
où Ton voit que les numërateurs Ç, Ç, af , aÇ, 5Ç, 5Ç, 4Ç* ^*c., croufieol alternativement de o et de Ç.
Il n'y aura lieu d'employer cette formule que pour de très petites valeurs de x, qui laissent encore Ç assex petit ; car , par exemple^ pour la
valeur or =s -^sso.oiSS, qui donne 8 = 4^^C=49 ^^ pourra employer
indifféremment la formule (53) , qui ne cesse pas d'être convergente , ou la formule (60) ; le choix de l'une ou de l'autre dépend encore du d^rë d'ap* proiimation qu'on veut atteindre, et qui s'obtiendra plus&cilementy tantôt par une formule, tantôt par l'autre. Pour mieux en juger, il faut foire voir quelle est la meilleure manière de calculer des fractions continues telles que la formule (60), dans laquelle les numérateurs augmentent à l'infiDÎ, tandis que les dénominateurs restent égaux à l'unité. ^
po p p'
175. Soient ^, ^j 9 ^^ ^^^ fractions consécutives qui réaultent du calcul de la Graction continue, exécuté suivant les règles ordinaires en s'ai^ rétant à la fraction composante -; on aura, d'après Ja loi connue,
P'=P+^po, Q'=Q+;tQ-; delàFQ— PQ'=KPQ-.PQ>), ou
Supposons la différence ^ — ^ positive =R<*; on voit que la différence
suivante 5^—7. sera négative ; en l'appelant — R , on aura
F' On parviendra donc à la valeur ^ , en calculant par cette formule une
suite de différences /•, r', r^' R*, R, qui, à partir du premier terme A
de la série , s'appliqueront alternativement en plus et en moins au résultat de tous les termes précédens ; d'où l'on conclura
Les signes des différences seront toujours alternatifs , tant que les indices /A seront positi&, comme dans le cas proposé. On obtiendra donc ainsi des
