CHAPITRE XVn. 5ii
résultats alternativement plus grands et plus petits que la valeur totale que l'on cherche , ce qui donnera à chaque instant une mesure du degré d'approximation auquel on est parvenu. Lorsqu'il ne manquera plus qu'une ou deux décimales pour obtenir le degré désiré , on pourra s'arrêter k la dernière différence calculée R , et suppléer aux différences suivantes R', R'^, etc., en considérant la suite R^, R, R', R' comme une progression géométrique; dans cette hypothèse, faisant R = aR% on aura
R— R'4- R"— etc.= R(i — flt + a* — etc.)= -3— ; ainsi, au lieu de la
différence R , on prendra , . Pour plus d'exactitude, on pourrait avoir re-
cours aux trois derniers termes R**, R', R, et faisant R*=ot*R**, Rs=:aR% on supposerait par analogie R' = a'R, et l'on déduirait le rapport af des
deux rapports connus a*, a , par l'équation log cf - := 2 log et — log et^ ; en*
R suite, au lieu de R, on prendrait , ,.
1 76. Pour calculer facilement les différences R et éviter en même temps l'embarras des grands nombres auxquels conduirait nécessairement, dans ces opérations, l'accroissement rapide des indices fc, voici conunent il faudra procéder.
Soit la fraction proposée Zs=X:(i+ft:(i4-(^i»(i-f-l^t-(i+A*»*(^"He^^'î les premiers termes, calculés à la manière ordinaire, sont :
et la série formée par la différence des termes consécutif commence ainsi :
Pour la continuer indéfiniment, on prendra des auxiliaires fl. A, d,, A,, 0., A., etc., d'après la loi suivante, qui comprend celle des différences R,R., R., etc.,
e = A<, A = ^^, R = XGa,
6, = ^,A, A, = ^ , R, =: R6|A,., 84 = ^4A,, A4 = jqi;^, R4 = RA^J
etc. etc. etc.
5i2 IlNTÉCaiALES EUUÊRIËNJHES ,
Cela pose, la valeur de Z se calcnlera par la suite
Z = X — R +- R, — R. +- R, — • R4 4- etc., qu'on prolongera jusqu'à ce qu'on ait obtenu le degré d'exactitude désire.
177. Ces calculs, comme on voit, sont très faciles à faire par logarithmes; toute prolixité et toutes opérations inutiles en sont écartées; il suffira de calculer les termes X, R, R|, R», etc., avec une décimale de plus qu'oD n'en veut avoir dans le résultat, et l'on prolongera la suite des différences jusqu'à ce qu'elles appartiennent à l'ordre de décimales qu'on peut obliger, ou seulement iusqu'à ce qu'elles approchent de cet ordre, puisqu'on peut tenir compte des termes suivans par le moyen que nous avons indiijué.
U est bon d'observer, au sujet de ces calculs logarithmiques, que pour
déduire chaque A du G correspondant, par l'équation -- ss i -4- 0, on pourra
£atire usage des formules souvent mentionnées log 9=logfldbrf, cf ;— ,
logl>=log(aûP)±i^£f , d'où résulte log(i+9), ou — logA=log(x-|-a)=fcD. On prend pour a le nombre de la table doçt le logarithme approche le plus de \og 8 jil suffit que a ait au moins le tiers du nombre de chiffres significatif avec lesqueb R doit être déterminé; mais il faut que l(^(i +^) soit aussi donné dans la table immédiatement et sans interpolation.
178. Conmie on a en général R« = R,«.,« *, , il est évident que les
différences R, Ri, R*, etc., vont continuellement en diminuant, dès le commencement de la série, ce qui est une suite de ce que les indices (jl sont supposés tous .positifs; ainsi à mesure que la suite des différences est prolongée, l'approximation augmente de plus en plus, pourvu que les diflerens termes, à compter du premier X, soient calculés jusqu'au nombre de décimales qu'on veut obtenir dans le résultat, ou même au-delà, pour obvier à l'accumulation des erreurs.
La formule (60) est donc propre à déterminer l'intégrale Z pour de très petites valeurs de or, sans être sujette aux inconvéniens que présentent les formules (53) et {55)^ la première en offrant des termes divergens dès le commencement de la série, et fort grands par rapport au résultat cherché; la seconde, en amenant assez promptement une divergence qui limite beaucoup l'approximation et la rend souvent insuffisante. Cette formule, cependant, est loin de conserver son av|ntage, lorsqu'on l'applique à des valeurs de X qui passent une certaine limite; car sa marche se ralentit de plus en
