CHAPITRE XVll. 5i

plus, à mesure que x augmeute, et la formule (55) devient fort préférable, surtout si l'on a besoin d'une grande approximation.

179. Pour mieux apprécier la formule (60), essayons de déterminer combien U faudra calculer de termes de cette formule, afin d'obtenir la valeur de

^ avec un nombre i de décimales, ou de manière que l'erreur soit moindre

que lo""*.

On remarquera d'abord que le /i**"' des numérateurs Ç? Ç, 2Ç, aÇ, 3Ç, 3Ç, etc., peut être représenté par ^ (n -|- siu' ^ wr) ; or on a fl, = jU,A|^,, ou fl,(i +fl,.,)=/x.; donc ô.(i+fl^,)=TÇ(»-|-sin*^n7r). De là on voit

que 0. a pour limite (IÇ'i)^) et qu'ainsi lorsque n devieift nn peu grand, on peut supposer 9, = ^(j^n).

Soit log R. = U „ , réquation R. = R.-,fl«X. donnera U. = U.«. + / ^j-^ = U., — r-^U,, — \/C»T"y' ^'^" ^^^ déduit la valeur approchée

U. = const. — 2 \/\T-^ •

Ainsi, à mesure que n augmente, le logarithme hyp. de R» approche de plus en plus de la limite: const. — ^l/Cr?)' ^^ ^^ l(^arithme vulgaire, de la limite : const. — 2m l/f]^)- Si l'on veut donc que cette limite soit

— 1\, on aura a/w 1/(1?^ = const. + *, ou à peu près /i =^M*Çi*, M étant

le nombre 2 . SoaS , etc. Oi^ voit par conséquent que le nombre n augmenté en raison du nombre Ç, et aussi en raison du carré du nombre de décimales qu'on veut obtenir.

Soit, par exemple, or^o.oi , ce qui donne z=/ 100= 2M, 2^ =--m7; on

aura à peu prèsn = 7^Mt*; dans ce même cas, xl^z=i — =0.00217; donc

si l'on veut que Z soit déterminé avec dix décimales exactes , il feudra &ire i=8, ce qui donnera n:=4Ms9.2; donc il suffira de 9 à 10 termes de la série des R, pour obtenir ce degré d'exactitude. Si l'on veut vingt décimales exactes, il faudra faire 1 = 18, ce qui donnera n=46.5; ainsi la série des R devrait être prolongée jusqu'à 46 ou 47 termes.

Si l'on fait x=:o. i , Ç sera égal à m et l'on aura n =s ^Mi*; dans ce même cas, xÇ =0.0434; donc, si l'on veut déterminer Z avec dix décimales exactes, il fendra faire 1=9, et l'on aura /i=22, c'est-à-dire qu'il fendra

5 1 4 INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

calculer 22 ou a5 termes de la série, et pour l'avoir avec vingt il en faudrait calculer plus de 100. La formule (53) exigerait aussi environ 22 termes dans le premier cas, et seulement 5a dans le second. Nouf ajouterons qu'à égal nombre de termes, l'usage de la fi>rmule (55) est préférable, parce que chaque terme se déduit très simplement du précédent.

180. Pour faciliter le calcul des fonctions Z, dans tous les cas où jc n'est pas très petit, nous joignons ici une table des valeurs de la fonction Y, cal* culée pour toutes les valeurs de JC, de centième en centième ^ depuis j:sss 1 .00 jusqu'à a:=:o. Il nous aurait été également facile de donner la table des fonctions Z, puisque la somme de ces deux fonctions est égale à la quantité— -/(i — ttr^, donnée immédiatement dans la table des logarithmes hyperboliques/ Mais l'interpolation pour les valeurs de x peu différentes de l'unité serait d'un calcul difficile et peu exact dans la table des fonctions Z, tandis qu'elle est très facile dans la table des fonctions Y. D'ailleurs, connaissant Y, on a immédiatement'Zs=Zr— — J— • Y.

Le calcul de la table des fonctions Y a été fait par la formule (54) ou par une formule équivalente, depuis x= i.oo jusqu'à x = o.8o. Pour les valeurs suivantes, depuis a: = o.8o jusqu'à jr = o«o6, nous avons préféré d'employer la méthode des ordonnées moyennes, corrigée pour les dernières valeurs de a:, comme on l'a expUqué (art. 8i8). Enfin les cinq derniers termes, à compter de x=o.o5, ont été calculés par la formule (60), qui donne la valeur de Z , d'où l'on tire celle de Y.

181. L'interpolation de la table des fonctions Y se fei^ à l'ordinaire, par la série des différences , tant que x ne sera pas plus petit que o . 10 ; il deviendra seulement nécessaire d'avoir égard aux différences du cinquième, ou même du sixième ordre, lorsque x approchera de cette limite, et dans ce cas, il conviendrait d'employer la série des différences dans l'ordre de x croissant.

L'interpolation peut aussi se faire en générai, par une formule dont l'application s'étend jusqu'à des valeurs assez petites de x.

Soit a le nombre de la table qui approche le plus de la valeur d(mnée x=a — a; on connaît la valeur correspondante de Y(a), et par conséquent celle de Z(â); il ne s'agit donc que d'avoir la différence^=:Z(a)— Z(a— a).

Pour cela soit a?s=«-^, ce qui donne Z =7"— — - ; soit ensuite a = er^^ a — a=:e— *— ^, ou bzszl- Czzzi ; soit enfm z=s£-|*â»9 on aura