CHAPITRE XVn

terminera d'elle-même, et qu'on aura ainsi la valeur de T exprimée exactement par une fonction rationnelle de ^. L'intégrale étant connue pour chacun de ces deux cas généraux, il sera facile d'avoir, dans la même supposition, l'intégrale complète de l'équation (57), laquelle ne supposera plus qu'on ait en même temps T= i et Ç =0.

En effet, par le tableau analytique de l'art. 172, on voit que l'équation différentielle proposée en T, est liée avec les transformées successives en T', T", T^', etc., de manière qu'il suffit de résoudre complètement une de ces équations, pour résoudre toutes les autres, et particulièrement l'équation en T. Or, par la loi des transformées successives, il est évident que les coefficiens qui étaient a et S dans l'équation en T , deviennent et et 7z+€ dans la transformée paire en T", et qu'ils deviennent i— aet /î + a+^ dans la transformée impaire en T""*"*.

191. Soit donc i"". f = — /i; pour avoir les transformées successives on prolongera la suite des équations,

ij = 1 + (i + « + €)CI"',

etc., jusqu'à celle qui donne la transformée en T'""", savoir:

cette transformée sera

jsgp^ (,-,); .f^ î— =0.

Enfin si l'on lait =;j^^=: i +ÇY, on aura pour dernière transformée,

Celle-ci étant linéaire par rapport à y, on en tire

A étant la constante arbitraire.

5a6 INTÉGRAIS flJIJÉRIENNES ,

Elîoûwuitdooc successivement T'yV...^T^'^^,YyWak laoycn dcséq»iîoi» prëcédentes, on «nra l'inUgrale de rëqusiiodi proposée ea T, hqueUe contiendra la constante arbitraire A, et sera par conséquent c<iai|dète.

193. Dans cette int^ale, outre le terme A^*tf ^, qui appartient aui

exponentielles ordinaires, se troure comprise la transcendante JX^^"^^^^

qui, pour les valeurs positives de ^, semble diflférente des transcettdantei

r(a, x)\ mais pour les valeurs négatives de Ç, ces deux transcendantes sont

de même nature.

EneCfet, soit^= — o", on aura/Ç— " — *e^{i?^=(— i)*yflr— »— «e 'A-;

soit encore e '=z a?: ou - = / - . on aura

dans ce même cas on aurait

Ainsi le simple changement de Ç en — o", suffit pour que l'intégrale complète

de réquation proposée en T, puisse être exprimée par la fonction r(«, x),

en faisant a: = e ^; elle satisfera à toutes les valeurs positives de o*, ou i toutes les valeurs négatives de Ç. Ensuite si Toa cliange le signe de 0*, ce qui

rend Ç positif, la fonction T{a, x) supposera a: = e^ , c'est-À-diffe ^ ^ 1 , et elle se déterminera alors comme on l'a fait voir dans l'art 164. Donc dans tous les cas, l'int^ale complète de l'équation proposée s'eiprnnera par li transcendante connue r(a, or), en donnant à cette transcendante toute l'extension dont elle est susceptible.

193, Soit 3®. a-{-^=— «o, les transCbrmées successives devront être prolongées, suivant la loi de l'art. 172, jusqu'à la transformée en T" qui sera

(T*")*£iÇ "* T**" "i" v^ "t* ^;Ç — (T^ ■"" ^*

Dans ceUe-ci, faisant de nouveau 7^ = 1 + f Y , on aura la dernière transformée