CHAPITRE XVn. 5a

dont rint^ale est

0)DDaissant Y, on obtiendra successivement les valeurs de T", T**"', et enfin T ^ de rarte qu'on aura l'int^ale complète de l'équation différentielle

proposée.

194. Dans cette intégrale se trouve la transcendante /^«""'e^dÇ qui, pour

toutes les valeurs négatives de ^, se ramène immédiatement aux fonctions

T{ay je). Car faisant^ =—'9' et ensuite e ^==^9 ou -=/i, ou a

cty2r«— «tf 'ifc=/<tirf i-V"* = r(i — «, ^). Ainsi dans le oasde Ç négatif, l'intégrale de l'équation différentielle proposée dépendra simplement de la fonction r(i — «, J?).

Dans le cas de Ç positif, on substitueca à la fonction r(i — «, â?), ce que

devient cette fonction lorsque J?c=s^, c'est-à-dire lorsque x est^i ; ou

bien, pour éviter des transformations qui quelquefois sont embarrassées d'ima-

^naires, on conservera dans l'expresskm de T la transcendante /X^"^^ qui s'évaluera convenablement suivant les différens cas. Si a est un nombre entier positif ou négatif^ l'int^rale dont il s'agit s'ex-

Si A n'est pas un entier, soit? ssu, on aura /{•—^tf^df s=— ^/îi-*«"^, ce qui donne par le développement de e^^^ la valeur approchée

/t*-*eW=con8t— îî — îî I-T— I — «^•

On paît aiDsn mettre cette intégrale sous la foime

^é^ritH ::^=^-H ^^^ -etc.),

^o& résulte

OOBSt.

528 irtTÉGRALES EULÉRIENNES ,

1 = A^"i«*-' 1 ^ iî- — = f- etc. -

Y I— et " I — £t.a — m 1 — «.2 — «.3— « • '

scrie qui pourra être divergente dans les premiers termes , mais qui deviendra toujours convergente après un certain nombre de termes.

195. Si, au lieu de (aire les substitutions dans l'ordre indiqué art. 172, on les fait dans Tordre inverse, on aura les équations suivantes qui serviront à déterminer les transformées successives en T", T**, T**^'*"'^, X*^*"^,

± =ï+^rr, «• =!—«,€• =« + g

^=14- go*»^*»» , aoo" = a , C**** = C — 2

etc., etc., etc.

De là on voit que la transformée paire en T'^*"'=s: Y , sera

y;^+— Y — r(fe— «;;— y-. =0,

et que la transformée impaire en Ï»C»»— 0 5= y ^ géra

Donc, i"*. si € est égal à un nombre entier positif n, la transformée de Tordre 2/i se réduira à l'équation linéaire

^•f + «+OY-i = o,

dont rintégrale est Y = Ç— *e ^ (A — /^*— »e ^^(^). Si dans cette expression

on fait e ^ = or, ou p = / -, on aura

ainsi l'intégrale de l'équation proposée en T s'exprimera généralement au moyen de la fonction r(i — a, x).

2*. Si a+ ^ est égal à un nombre entier positif n, la transformée de l'ordre 2n—- f , se réduira à une équation linéaire,

• CHAPITRE XVIT. 529

^+[(i-«)Ç+OY--i=o,

dont l'inlëgrale est

et en faisant toujours la substitution e ^ = ,r, on aura

Donc alors l'intégrale complète de l'équation proposée s'exprimera au moyen de la fonction r(a, x).

196. Il reste donc démontré qu'étant proposée l'équation différentielle,

T^di ""IT ■«" **^ *" T* "^ '

on en pourra toujours trouver l'intégrale complète au moyen des fonctions r(a, x)f considérées dans toute l'étendue dont elles sont susceptibles^ si l'un des nombres f , a+f , est un entier positif ou négatif.

Nous remarquerons que si l'on proposait l'équation différentielle

(rf4-(AÇ + i)Z+BCZ«+CC--D=o,

OÙ il y a quatre coefficiens constans A ^ B, C^ D, cette équation pourrait être ramenée à la même forme que l'équation précédente qui ne contient que deux coefficiens constans. En effet , soit Z = rdï ^n^m ein étant deux constantes indéterminées, l'équalion transformée en T sera

^'W + BwTT* + (AÇ + i>T + B/i*f H- 71 = G

+ 2Bm<T + A< — D

H- Cf.

Déterminant n d'après l'équation Bn'-j'An-f^Csso, faisant ensuite... m=iD — n, f:=Bm, a = AH-3Bn, on aura

Tdi:

équation entièrement semblable à l'équation (57). Donc l'équation proposée en Z sera intégrable si l'un des nombres

5So INTÉGiUIJSS EULÉRIENNES.

BD + i A + i |/(A« - 4IC), BD H- i A - i i/CA» - 4BC),

est un entier positif ou négatif.

197. Nous remarquerons enfin quV>n peut donner à l'équaticm ($7) une forme analogue à œlle de l'équation de Riccati. Pour cela, soit d'abord

ÇssAo:^, Tsshxjr; soit ensuite m = -—-, Bsa— -|, Ass^^latraiis*

formée en jr 8era^+j^ — iMur^ jr— TiCa:^ =ioj enfin faisant....

/— i«iMP* =3s, onaura •

Cette équation , qui est iplus générale xpie i'éqaatian de Riccati , sera donc intégrable si l'un des nombres £ , «-(- f , est un entier positif ou négatif.

f)ffns le cas oh ^rmi a^=|— |<i, ccttte équation devient.

^ -(-^ — ^a^n^x* a96e; aUeserBiKtégraUesiiiTantlafthéQiae --- "■

si l'un des deux nombres ^ — 1«9 7 -^ ?«, est on entier pMbif oa nëfitif;

alors l'exposant dfi jel, Avoir , - «-^ x^^ae réduit i la forme-— ^^j^ 9 ^ ^^^

un entier positif ou négatif; on obtient ainsi les mêmes résultats que présente la résdution connue ide Tëquation de Riccati.

FKf DES niTÉGEACES VUVtBlKmES.

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