SECTION PREMIÈRE

Sur le Déi^eloppement de la puissance ( H- a' — aa cos ^)-».

I. On peut toujours supposer a^ i ; car si on avait a<^ i , on mettrait

- à la place de a, et la puissance à dëTelopper serait a** (i-f-^'^—aA €0»^)^%

tétant < !• Cela posé^ si Pon fidt D ='i + a*— 2diCQS ^^ et qu'on suppose

D-" = P, + aP, cos (p + 2P» cos 2^ + aP, cos 5^ 4- etc. ,

l'expression générale du coefficient F(A) sera donnée par la formule suivante où l'intégrale doit être prise depuis ^ s= o jusqu'à ^ == tT :

En effet, on sait que l'intégrale fd^ cos X(p cos /i(p prise entre ces limites^ se réduit à zéro, pour toutes valeurs des entiers A etft, pourvu qu'ils soient différens l'un de l'autre 3 ainsi en substituant pour D""" la valeur développée P.+ aP, cos ^+ 2P. cos 2^ + etc. , l'intégrale flir*d^ cos A^ se réduira au seul terme 2P(\) fd^ cos* A^ , dont la valeur est ^P(A) , ce qui donne kl formule ( i )•

Cette formule réduit aux quadratures la détermination générale du coefficient P(A); mais il importe de chercher une autre expression de ce coefficient propre à en faciliter le calcul numérique pour toutes valeurs données de n et de A.

It est nécessaire, pour cet effet , de traiter séparément le cas où Pexposant n est un nombre entier, positif ou négatif, et cehii où n est un nombre fractionnaire. Dans le premier cas , la valeur du cofBcient général P(A) peut être déterminée exactement par une fonction rationnelle de net de A3 dans le second cas, lc& coefficiens P (A ) sont en général des lTaD8fieBdanle& qui ont

55a APPENDICE,

beaucoup de rapport avec les fonctions elliptiques et qui coïncident arec elles lorsque 2n est un nombre impair.

§ I. Solution du cas où F exposant n est un nombre entier^ positif ou négatif.