Nous ferons toujours a^i, D=i*f-"A*r~^^ <^ûs ^ et
D"^ = P. -f- 2P, cos ^ + 2P4 cos a ^ + aPj cos 3 ^ 4-elc.
Dans cette série, le coefficient P(A) qui accompagne cos A^, suppose n constant; mais si on a égard à la variabilité de n, ce coefficient , fonction de deux variables, devra être désigné par P(A, ;^); on pourra en outre considérer P(A, n) comme étant fonction de a ^ et diflférencicr , s'il y a lieu, ce cofficient par rapport à a.
Gela p0sé, on sait par la théorie des suites récurrentes, que la suite infinie I +a cos ^ + a* cos 2^ + a' cos 5^ + etc. , n'est autre chose que le développement de la fraction ^ ^^ , ^^, suivantles puissances ascendantes de a; De là on déduit l'équation
i-^i^l + a- = I + 2fl cos ^ + aa*cosa^+ ao» cos 3(£4- etc..
ou
D-* = Yli-^(i+^^cos^ + aa»cosa^ + aa*cos3^4-etc.V ce qui fait voir que dans le cas de n= i , on a en général
Au moyen de cette valeur, nous allons déterminer successivement P(A 2) P( A, 3), et en général P(A, n), n étant un nombre entier positif quelconque.
3. Pour cela diflerencions par rapport à a l'équation P (A, /z)= i- CËÎ^^JÎ^ nous aurons
dP (A, n) 1 Pnd^ cos xç . .
~d^ — ~;y D-^' (acos^ — aa)j
multipliant de part et d'autre par a et mettant au lieu de aacos^— a^ sa valeur i — a* — D , on aura
adP (a , n) __^ n di "
Le second membre de cette équation se réduit à /ï(i — a*)P(x /»+i)
— bPT(A , n) , donc on a
Ainsi le coefficient P(A, /i+ i) se déduira en général du coefficient P(A, n), au moyen d'une simple diffiêrentiation faite en regardant a comme seule variable; et puisque nous connaissons la valeur de iP(A, i) par la formule (2), nous en déduirons successivement les valeurs de V(?iy 2) y P(A, 3), etc., savoir:
^^^'^î= Ô • (TT^^K^+O (A+2) (A+3)-3a>(A+a) (a+3) (a-3)
+6a4(A+3)(A+4)(A-4)(A-3)-4a«(A4-4)(A-4)(^3)(^-2) +a«CA-4) (A-3) (A-2) (A-l)], etc.,
La loi de ces expressions est Ëicile à saisir, et en général la valeur de P(/i, A) sera donnée par la formule suivante :
ï^C^' »)= (,-aT-' 1.2.3 ... »-. ^'
Pour s'assurer de l'exactitude de cette formule , il suffit de substituer la valeur générale de P (A , n) dans le second membre de l'équation (3) ; on trouvera, après les réductions, une valeur de P(A, ^+1) ^ ^^ ^i^ autre chose que ce que devient la fonction P (A , h) en mettant /» -f- ^ ^ 1^ place de n. Tout autre mode de vérification serait moins facile que celui que nous indiquons.
4* Le cas le plus simple est celui de 72 = A -f~ > 9 ^ors B ou B(A, n) se réduit à son premier terme i , et on a
^^^ ^ I V 1 rd^ COSXÇ (^ A + 1 . A + 2...2A
Un aatre cas qui mérite d'être remarqué est celui de X = o ; alors ùù t
(5) P(»,»)=ç=;^>+(=?)'+(=rF)"-+(=^^r^''^
formule dont les cœfficiens sont les quarrés des coe(ficiena du bioome âevé à la* puissance ii-« i ; elle donne en même temps la valeur de l'intégiak
- 1^ , prise depuis ^ = o jusqu'à ^=s7r. On aurait par exemple ,
5. La formule (4) ne laisse rien à désirer lorsque n est un entier positif, mais elle ne peut s'appliquer au cas oh n est un entier négatif; c'est pourquoi il est nécessaire de chercher directement la solution de ce cas, c'eitâ-dire la valeur générale du coefficient P(A,— 'h) donné par l'int^rale
définie - fjyd^ cos X^. Or, sans passer par les cas particuliers , on peut dé«
terminer tout d'un coup la valeur de cette intégrale.
En effet, le polynôme i— -aacos ^ + a^ étant décomposé en sesdem facteurs imaginaires, on aura
Ds= (i — aet%^-») (i — fle-^— 0; si ensuite on suppose •
(i — -a ct^-i)»s3: X 4-K, e^y/-' + K^é^^-\ . . . + Kj, 6^/— > «f-etc, on aura semblablement (i — ac^v^-' )■ = I +- K,e-f^-^ + K.c^>v^-' . . .+ Kx c-^v^— »4- etc.
Multipliant ces deux équations l'une par l'autre afin d'avoir la valeur de D'y et observant qu'il suffit de conserver dans le second membre les termes af* fectés dee^^v^— " et e— ^%^— % puisque ce sont les seuls qui ne disparaissent pas dans l'intégrale cherchée, on aura pour cette partie de D* la valeor
(Kx + K. Kx+, +K.Kx+a+K,K^4^ +etc.) (e^v^-« +e-^^-«) j
mais le facteur e^v^— » -f-e^^#v'— « se réduit à a cos A^, et on a entre les limites données fd^ . 2 cos* X^ = ^ ; donc la valeur générale du coefficient P(A, — 7i) est
P(A, — /ï)=KxH- K,Kx+, +K.Kx^ + K,Rx+3 + etc. j or , on a par la formule du binôme
K»+, = Kx . jq- (— «), R. = 7 (—a) ,
etc. etc.
Donc enfin la valeur de P( X, — n) sera donnée par la formule suivante:
C= 1 +ga>, ^^±ILlil gi, ^-A./^-A-J^ y ^gj
6. Remarquons que dans l'application de cette formule il &ut supposer /i=;=ou >\ j en eflfet, si n était <A, le développement de D" ne pourrait donner aucun terme semblable à cos A^; ainsi l!intégrale f^d(p cos A^, prise entre les limites données, serait nulle. La plus petite valeur qu'on
puisse donner à n est donc n = A, alors on a yi^rf^ cos A^=^( — df^^ ce qui se vérifie immédiatement.
Le cas de A = o mérite encore d'être remarqué ; alors on a /D-^=*[H-»V+(^^)V + (^L^=i^7«'+etc.) (7) Comparant cette formule â la formule (5) , on en tire
/D-rf^=(,-«-)«--'/^, (8)
ce qui établit un rapport remarquable entre ces deux intégrales définies , rapport qui aurait lieu quand même n ne serait pas un nombre entier et ' d'où l'on déduirait aisément la formule de l'art. i48, tome L
En général, si l'on observe que la valeur du coificient C n'est autre cbose que celle du coefiicient B dans laquelle on aurait mis tx + i au lieu de /i, on en déduira un rapport remarquable entre les intégrales /D*^ cos A^ et
r — ^~. Ce rappwt €st donné par l'équation suivante, dont l'équation (8)
n'est qu'un cas particulier.
536 APPErn)ICE,
/D-rf(pcosX.p= „^.,.,^.,.^...J, (-i)(»-«-)"-^'y^%=:;:F»»>C9)
7. Les formules précédentes résolvent complètement le problème du développement de la puissance D~% lorsque l'exposant n est un entier poâtif ou négatif; elles peuvent même s'appliquer au cas où l'exposant n ne serait pas un nombre entier ; mais alors la suite qui exprime la valeur du coefKcient P(A, /i) s'étend à l'infini, et on ne peut plro déterminer que par approximation les coefliciens successifs Po, Pt, F», etc., qui deviennent dans ce cas des transcendantes d'une nature particulière; d'où naît cette sorte de paradoxe que le développement d'une quantité algébrique telle que D" ne peut s'exécuter qu'avec des coefliciens de nature transcendante. Nous examinerons ci-après les propriétés de ces coefliciens, afin de &aliter autant qu'il est possible le^ calculs nécessaires pour leur détermination; mais nous saisirons cette occasion de démontrer ici une formule assez remarquable qui a lieu dans le cas de /i = 7 , et qui parait ne se rattacher à aucune autre formule du même genre.
8. Si on fait n=7 dans la formule (4) et que préalablement on mette au
heu de • , la fraction équivalente ^ -i- >
on aura ^P(X, {) ou
/ÛÎPCOSA^ X 1.3.5. ..2A—1/ , , ^ 2A+I , 1.3 , 2A+I.2A-f-3 . \ ; — =«•« • — r"s r-( i+î« • — r— H ?«*• — r r-? + etc. 1 J)i 2.4.6. ..2A \ '• 2A4-2^2.4 2A4-2.2A+4 /
Mais si l'on considère l'intégrale Z = / .. ^T • t \ > ^^ qu'on développe la quantité sous le signe, on aura
Z =fd<f> (sin^^ ^ + T «* • sin^+2 (p + lii a* . sin^^+4 (p -{- etc.)
ËSectuant l'intégration de chaque terme entre les limites ^ = 0, ^ = ^, • d'après la formule connue Cd^ sln*"^ = ' V' — — - tt. on aura
„ I.3.5...2A— I / I t • aA-l-I , 1.3 , 2A-I-I.2A+3 , , \
et puisque cette valeur est la même, au facteur a^ près, que celle de
; — , on aura en général la formule
/d4> cos xp ^ /^ d^ sin^^ . .
\/{i +a^'^ia cos (p) ^ ' J ^(j^a^ sîn« ^) ' \^^)
OÙ les deux intégrales sont prises depuis ^=0 jusqu'à '^ =^.
La valeur du coefficient P(A, ;) que donne cette formule, peut se tirer directement d'une intégrale comprise dans l'art. i23, tome 1. Cette intégrale est en général
1— g'sm^a dû p.-i D«tang9
I— aa8in*acos^+a«8in4a • \/(ï — a«sin*fl) ~ ^ ^^^ ^°8« v/(,— a*sin«ô) ^
et si on la prend depuis â = o jusqu'à Osstt, on aura
jy-i __ i r 1— g'sin^e dé
Développant la quantité sous le signe par la formule qui sert à exprimer D"*", dans Fart. 2, on aura
D * = - / —77 , . ,.. r I + 2fl sin*9 cos 0 + 2a* sin^fl cos 2^ + etc.^
Ainsi on voit que dans le développement de D" ' , le coefficient P(A , y) sera
en général — /• ^^ • «fl-^> celte intégrale étant prise depuis fl = o jusqu'à fl = 9r.
On pourra toujours déterminer la valeur exacte de ce coefficient par les fonctions complètes F'a, E'a; mais si on voulait la déterminer par les quadratures, la forme — / — ^7 ^ . ^.. serait beaucoup plus facile à calculer
que la forme - / 777 — ; — ^ rr, où l'ordonnée ne suit pas une marche
aussi régulière.
II résulte aussi de l'expression P(A, j) = — / ^ . ^. , que le coefficient F diminue continuellement à mesure que le nombre des termes X augmente, tant à raison du facteur constant a^^ qu'à raison du facteur variable sin^'^ 9. Cette expression fait d'ailleurs connaître deux limites entre lesquelles le coefficient P(A , j) sera toujours contenu; on aura en effet
