Soit V= ^^5 on aura en difierenciant cette équation

-,7. Auto cos A© 2a (» •— i) sin ^ y

et eu réduisant au même dénominateur ,

r%r / 1 aX % û^ COS Af , , v <tocOS(A— i)A

d^ cos (a + i)^

intégrant de part et d'autre depuis ^ = o jusqu'à ^ s= ^ , et observant que dans ces deux limites Y s'évanouit, on aura d'après l'équation (i),

(i5) (A+i— n) P(A4.i)— (i±^ AP(A)+(A— iH-/i) P(A— i) = o.

Cette équation donne la loi générale qui lie entre eux trois termes consécu-

tifs quelconques de la suite P» , P, ^ P. , etc. ; elle fait voir qu'il suffit de connaitre deux termes de cette suite pour déterminer tous les autres ; mais il y a des précautions à prendre ^ suivant les différens cas, ppnr que Terreur qui peut exister sur les deux termes connus ne se multiplie pas dans le calcul des autres termes , de manière à rendre bientôt les résultats entièrement défectueux.

1 1. Si on fait P (X) = n.n+i...n+)i^i ^^ ^ ^^^^^ ^ ^^,^^ substitue

cette valeur dans l'équation (4)> on aura

(i4) (i -f-3;2^^)a'A(^+i>-(i4-fl*)A(X)+A(X-i)=o.

Cette équation exprime pareillement la loi qui r^ne entre trois termes consécutifs de la suite A,, A,, Ai^, A3, etc. En supposant cette suite connue, le développement de D""* serait donné par la formule

D~" = A,H- 2a .- A, cos ^ + 2fl*. ^'^ A, cos 2^

1 • 2 • o Lorsque A est très grand, l'équation (i4) donne à très peu près

d'où l'on peut conclure que la série A«, A», A», etc. doit se confondre dans les termes éloignés avec une série récurrente dont l'écheUe de relation est

^ , — i ; celle-ci aurait pour terme général a + S C^ , «t et € étant

des coefiiciens constans. Ainsi lorsque A est très grand , on doit avoir aussi

A(A) = a + ^r-ij . Mais comme, d'après l'équation (11), la valeur de

A (A) ne doit contenir aucune puissance négative de a, il s'ensuit qu'on a Ç = o ; et qu'ainsi A étant très grand, on aura A (A)=a, ou A (A) égal à une constante. Cette constante se détermine en faisant A infini dans la valeur générale de A (A) donnée par l'équation (12), laquelle est

(i5) A(A)==i+5.^t.*a.4.2:i±i.2±^Ji±i±ia«+etc.,

et on a par cette supposition A (A)= (i — a*)""". Mais ce résultat n'est que le premier terme d'une série propre à exprimer la valeur générale de A (A) , lorsque A est très grand. Voici comment on parvient à cette série.

54o APPENDICE,

13. Faisons, pour abr^er, A+i:=A', X + a^ A", etc., et sup posons

A.(A) = «(, + J + ij. H- 3^^, + etc.),

d^ (P^ c"\ etc. étant des coefliciens indépendans de A ; cette valeur donne A(A) - A(A + i) = «(^ + ^'^4,3;,^, H- etc.),

A(A+,) - A(A + a) = «(j^. + i;TOî+3OT^:î + «»*^*)'

multipliant le second membre de la dernière équation par A^, et observant que A'= A'" — a = A*^ — 3 = A^ — 4) ®tc., on aura, après avoir divisé par A',

A(A+0-A(A +2)=a (pp+ -W3?"+ -75?^A-+feW + etc.) Maintenant si on met l'équation (14) sous cette forme :

o=:A(A)— A(A+i)— ««[ACA+O— A(A+2)]H-Î^VA(A4-a),

et qu'on substitue les valeurs précédentes , on aura une équation qui devant être identique, donnera les équations de condition

5 (i — «•) c'" = (»• — » — 2.3)aV',

4 (i a*) c*^= (/i» — /i 5.4)aV", • etc. j

d'où l'on déduit les valeurs des coefficiens

donc on a la formule générale

AW=(.-.-)-[. +2:^^ • JTT • r^^L

"* TXT • A+i,A+2.A+3 ' \i— «•>/ -f-etc. J*

Cette suite a l'avantage de se terminer d'elle-même, toutes les fois que n €st un entier positif ou négatif 3 mais si n est fractionnaire, comme nous Je supposons, elle s'étendra à l'infini et ne sera convergente dans toute son étendue et pour toute valeur de A, que lorsqu'on aura a*<<i—- a* ou a\<l

i3. Dans tous les cas, si A est fort grand, on aura une valeur très ap-^ prochée de A (A) par les premiers termes de la série, qui décroîtront alors d'une manière rapide. Dans cette hypothèse, si on prend le logarithme de A (A), et qu'en négligeant les termes qui ont pour diviseurs A', A^, etc. , on

réunisse deux termes tels que^ -{- ^ en un seul— ^ — , on aura

log A(A) = - » log (, - «•) +(^^^1^.

D'un autre côté la valeur de F (A) peut en général se mettre sous la forme

et puisque A est supposé très grand, on a par la formule de l'art. 74 9

I r(A4-/î) , x| ^ , 'i* — n , (n* — n)(i — 2Fi)

log ^; T N = (/» — 0 log A H h ^ ^-^ ^ ;

°r(A+i) ^ ^ ^ '.aA * I2A* '

donc on aura

Alog a +(/! — i) log A — n log (i — fl')— log Tn (17) logP(A)=^ + ^'-^—,1, (/>>-n)a>

valeur qui doit être exacte aux quantités près de l'ordre -3, et dans laquelle

il faudra multiplier les deux termes algébriques par le module i7is=s 0.434, si on veut que les logarithmes de cette équation soient changés en logarithmes vulgaires.

Nous devons observer, i*. que si a était négatif ^ le terme A logâ sera toujours le même que si a était positif, mais alors F(A) sera affecté du facteur , T. IL 87

54a APPENDICE,

(— i)^ , ce qui rendra P(A) nëgatifs! X est impair; a*, que si l'exposant n était n^atif, c'est-à-dire si on avait à développer une puissance positive du polynôme D, alors il fendrait dans le terme-— logF/i, mettre la valeur qne prend la fonction Tn lorsque sa racine n est négative , valeur donnée par la formule (43) du chap. XY ; et dans le cas où cette valeur serait négative, on devra la considérer comme positive dans le terme — - log Fti , et changer sinh plement le signe de P(A).

Il suit de ces deux observations, que le coefficient P(A) ne deviendra uéga* tif que dans le cas où la quantité a^ Tn serait négative.

On peut donc à l'aide de la formule (17) connaître d'une manière aussi prompte que facile , la valeur et le si{;ne d'un terme éloigné quelconque dans la suite Po, P, , P., etc. Si par exemple on (ait a =-1^, »=tj ^ == 'oo, on trouvera log Ptoo = 8 .6430984 , et P,oo = 0.0439641a; c'est la valeur très approchée du 10 1* terme de la suite dont il s'agit.

i4« Revenons au calcul effectif des coefficiens Po, P|, P«, etc. Liorsque a sera assez petit, on pourra se servir des formules fii) ou (1:1) indifféremment, pour calculer les coefficiens successifs qui seront donnés alors par des séries convergentes^ mais il suffira de calculer directement par ces séries les termes alternatifs P», P^, P^, Pg, etc., et on en déduira les intermédiaires Pi, Pf, P5, etc., au moyen de l'équation (i3) qui donne en général

' W =. ¥ï- [('+ ^) PC^ + ') + (■ + -T-) P (^ -■)] ■■

cette équation est d'un usage également sûr, soit que a soit très petit, soit qu'il difïere très peu de l'unité.

Si on se bornait à calculer les deux premiers termes Pq, Pi par les séries qui les représentent, et qu'ensuite 'on se servît de ces deux premiers termes pour calculer les suivans par l'équation (i3), les erreurs se multiplieraient dans ces diverses opérations, avec d'autant plus de rapidité, que a serait plus petit. En effet, les erreurs absolues sur P., Ps, P^, etc. pourraient croître

suivant la progression -, -;, — 3, etc.; et comme ces termes eux-mêmes décroissent à peu près suivant la progression a, a", a', etc., l'erreur relative pourrait augmenter d'un t^rme au suivant, à peu près dans le rapport de i à

^, erreur qui ne tarderait pas à produire des résultats entièrement défectueux.

Lorsque a sera très près de l'unité , les séries comprises dans les formules (11) et (12) seront très peu convergentes, et il faudra en calculer un grand nombre de termes pour avoir, avec un degré d'approximation suffisant, les

deux premiers coefiiciens Po, Pi; mais dans ce cas, on pourra se servir de PéquatioD (i3) pour calculer les coefiiciens snivans P^, P3, P^, etc. , et il ne sera pas à craindre que l'erreur augmente notablement d'un terme au suivant.

i5. Au reste, on peut éviter les longueurs du calcul par séries, en déterminant les deux coefiiciens Po, P| par les quadratures qui représentent les

intégrales "" / 5? > " / — n» ' prises depuis ^ = 0 jusqu'à ^ cstt. Mais dans

le cas où a est peu différent de l'unité, la quantité D devient très petite lorsque (p est très petit; ainsi l'ordonnée de la courbe qu'il &ut quarrer, serait très grande vers l'origine des abscisses. Pour obvier à cet inconvénient, nous

observerons que l'intégrale / v^^ i^tnl en général être déterminée par

l'intégrale fD'^^dp cos A^, puisqu'on a par la formule (9)

Soit donc yT)"'"*rfip cos Xç = ?rM(A) , et on aura

Ainsi tout se réduit à trouver la quantité M(A) pour les deux valeurs A = o , A = I , et on aura les deux coefEciens cherchés

p ,__ Mq p ___^ n M|

Or quelque petit que soit i — fl, on pourra toujours trouver par les quadratures, des valeurs aussi approchées qu'on voudra de Mo et Mi; mais pour faciliter les calculs, il sera bon de supposer n> 1 , afin que l'ordonnée D""* cos A^ de la courbe à quarrer , reste très petite lorsque ^ = o , ce qui n'arriverait pas si n était <^ i . Cette condition au reste est &cile à remplir dans tous les cas ; car on verra bientôt que le développement de I>^ peut toujours se déduire, par un calcul très simple, du développement de D""^*"".

16. Il y a encore une autre^nanière de calculer les coefliiciens P(A), laquelle a l'avantage de réussir (paiement lorsque a est très petit et lorsqu'il est très près de l'unité. Supposons qu'on veuille prolonger la suite P,, P,, P., etc. jusqu'au terme P^a^^; on calculera directement les valeurs de A(/7i*— i) et A (m) , par l'une ou l'autre des formules

Ces deux termes ëtant conaus, oa en déduira tous les prëcédens, depuis

A(/7i— 3) , A(/ii— S) jusqu'à A,^ au moyen de la formule (i4) <pii

donne

A(A- 1)= A(A)+a'[A(A) - A(X4- 0] + ^^^a-A(X -f- 1). Il ne restera plus qu'à substituer ces valeurs dans la formule

D~* =:A, + 2a. -A»cos^ + 3«*- ^''^ ' A, cos a^

+ 20*. ^ ^ ^^ As cos 5ç H- etc. ,

et on aura le développement cherché de D~^.

Dans cette méthode, les quantités Ao, A,^ A», etc. sont évaluées avec un degré presqu'égal d'exactitude, parce que la formule dont on fiût usage ne permet pas que Terreur augmente beaucoup en calculant les premiers termes par les deux derniers. Il arrivera donc que les coefficiens successif P«, Po P«, etc. seront déterminés de plus en plus exactement à mesure que la série se prolonge plus loin ; car les erreurs absolues étant les mêmes à peu prés sur les coefficiens A(A) , elles seront atténuées pn^essivement dans le rapport de I a a^ sur les coefficiens P(A).