Ayant représenté le développement de D~* par la formule
D"*= P, + 2?» cos^ H- aP. cos 2^ + aPj cos 3^ + etc. ,
supposons qu'on ait semblablement
D^""' = Q, + 3Q1 cos ç + ^Q^ cos 2^ -f- aQs cos 3^ + etc. ,
Q(A) étant la même fonction de n-j^i que P(A) est de n. Nous allons faire voir que ces deux suites se déduisent aisément l'une de l'autre*.
En efièt , si on différencie la quantité Y = -^r 9 ^^ ^^^"^
«V = A.— ^ï: r^" DM-» '^^ ÊH^+i J
intégrant de part et d'autre depuis ^ = o jusqu'à <p s= ^ , et observant que dans ces limites Y s'évanouit , il viendra, d'après l'équation (i),
o = AP(A) + /ia[Q(x+i) — Q(x— i)],
ce qui donne
(19) P(x = ^[Q(x-i)-Q(xH--,)]:
ainsi on a successivement
P. = lia (Q, — Q.) ,
na
etc.
A l'yard du premier terme Po, il n'est point déterminé par cette formule; mais comme on a D"^ s= ( i + ^* — a^ cos ^) D-"*"* ^ si on multiplie la suite Qo + ^Qi cos ç + etc. par i + û* — a^ cos ^ , et qu'on réduise les produits de cosinus en cosinus linéaires, on trouvera que le terme indépendant de fi est (i 4* ^0 Q« ""* ^^1 j ^^ qu'ainsi on a
Ces jR)rmules offrent, comme on voit, un moyen très facile de déduire les coefficiens Po , P| , P», etc. qui répondent à l'exposant h, des coefficiens^ supposés connus Q^j Q. , Q», etc. qui répondent k l'exposant /i -f« i .
18. Réciproquement si on veut déduire les coefficiens Q(X) qui répondent à l'exposant 71 H- 1 9 des coefficiens P(X) qui répondent à l'exposant /i, il faudra d'abord déterminer Q» et Q, au moyen de trois équations
P, = (i + a-)Q. — aoQ,, V, = na (Qo - QO,
(i n)Q. = i±^Q,-(i+ii)Qo.
Ces équations donnent
(, a')'Q, = (i + «•)?„ + ^.aaP.,
(i - «')*Q» = aoPo H- ^ (i H- a»)P„
ou plus simplement encore
(ai) Qo 4- Q, = (I -«)• »
Connaissant Q, et Q,, on calculera les termes suivans Q«, Qs, etc., au moyen de Féquation (i3), dans laquelle ibfaudra changer n en n^i et
P(X) en Q(A), ce qui donnera
(22) (A — /i) Q (A+ i) == i±f!AQ(X)— (A + ») Q(A — i).
19. Mais on peut pour le même objet construire des formules plus commodes et qui serviront à 'îalculer immédiatement les coefficient Q (A) , Q(X-f- i), par le moyen des coefficiens correspondans P(A), P(A-f-i),
Pour cela je tire de l'équation (19),
^ AP(A)=iia[Q(A-i)-.<}(x+i)], (A+ i) P(A+ i) = iw [Q(A)— Q(^ + a)].
D'ailleurs Téquation (2a) donne
(A - n) Q(A+i) = i±^AQ(A)— (A+/i)QCA-.i),
De la résultent deux valeurs de Q(A) exprimées, Tune par les deux termes P (A) , P (A -f- 1) > l'autre par les deux termes P(A— i) , P(A) ; ces valeurs sont
IV>\ — (A+n) (1 +0^) P(A)— (A+ I — />) 2aP(A+ I) (25) n{^i—a)
La combinaison de ces deux formules en donne une troisième plus commode dans la pratique, savoir :
Dans le cas de n=:-^^ cette formule se simplifie et donne ce résultat remarquable ,
(a5) Q(x) = ^(ax- £) [P(x - ,) P(x+ i)].
30. Nous observerons que les équations (14) peuvent se mettre sous la forme suivante, plus commode pour le calcul numérique ,
Dans le cas de nz=^ , ces formule» se simplifient encore et deviennent
Q(^) + QC^ + .) = ?i±i [P(x) -P(^+,)], Q(x) Qx + i) = 2id^[P(x)+P(xH.,)].
Le cas de /i= ^qui donne lieu a diverses simplifications, est celui qui s'applique spécialement au calcul des perturbations des planètes; il est susceptible d'être résolu complètement par les fonctions elliptiques.
21. En effet, si l'on suppose ^ = ^ — a\|/ et c* := r 1^ \^ ^^ aura. . . .
D = (i-|-fl)»(i — c*sin*4)> ®' ^^ valeurs de P, et P, , données par la formule (i), seront
p ^^^ £ r a(iv{.cos24^ ^ l«4/=:^9r
or, par l'art. 307, tom. I, on trouve
Les fonctions complètes F*c, E'c sont rapportées au module cj mais il conviendra de les exprimer pgr des fonctions semblables rapportées au module c® = a , puisqu'on a c = -y-. Or par les formules de l'article déjà
cité, on a
E'c= (i+i)E'c* — bF'c =--L E'a — (i — a)F'fl,
valeurs qui, étant substituées dans les formules (38), donnent plus simplement
32» Nous rappellerons ici que pour calculer les quantités F'^j E'â,. il faut d'abord former la suite décroissante a, a*, a*"*", a**'^ etc., par la même loi que la suite des modules c^(f^ c**, etc. Faisant ensuite
H =:K. (1 + ^ + ^:2^ H- etc.), on aura, suivant les formules démontrées dans le tome I^
E'a = fK(i-i^)-:H.ia-.
De là résultent ces valeurs très simples des deux premiers coefficieDS.
ensuite par l'équation ( 1 5) on trouve le troisième coefficient
P. = |aP. 4-iH.
Substituant ces valeurs ^ns les équations (a i) et (aa) , on en dédain ks valeurs suivantes des trois premiers coefficiens Q,, Q, , Q. , nécessaires an
développement de D"*,
Ces formules sont disposées de manière à rendre le calcul numérique des premiers coeOiciens aussi facile qu'il est possible. Nous en donnerons bien* tôt des exemples."
Les valeurs précédentes supposent que la différence i — a nVst pas très petite, et dans cette hypothèse on n'aura jamais k calculer qu'un petit nombre de termes de la suite a , a?y af^y etc. , pour parvenir à des résultats aussi approchés qu'on voudra. S'il arrivait que i— -^fôttrès petit, on ferait usage des formules (28) , où i — - c est encore beaucoup plus petit que I —a, et on substituerait dans ces formules les valeurs de ¥*c et E'^, calculées suivant les méthodes que prescrit pour ce cas la théorie des fonc^ tiens elliptiques.
25. Nous avons fait voir quels sont les procédés les plus amples pour cal-
culer les divers coefficiens P(X), Q(A), qui servent à développer les deux puissances consécutives D"", D*"""*. Si on avait à développer un plus grand nombre de puissances successives, telles que D"^, D"^"', D""*""*, D"^"', on commencerait par la puissance la plus élevée, et faisant /z=: m -f- 3, on calculerait les coefficiens successif P,, P|, ?«, etc., qui répondent h cette valeur de n.
Connaissant le développement de D~~", il faudra en déduire successivement celui des puissances précédentes D"'"*'', D""'"***, etc. Pour cela il faut observer que si on a égard à la variabilité de /i , la fonction 1?(X) devient une fonction de deux variables et devra être désignée par P(A, n). Or les coefficiens P(A, n — 1 ) se déduisent des coefficiens P(X , n) au moyen de la formule (19), qui peut être exprimée ainsi :
(3o) P(A, n- ,) = ËZlOf [P(A- I, «)P(^+ ,, »)].
Celte formule ne ferait pas connaître la valeur de P(o, n — i)j on y supplée par l'équation (11), qui donne
Au moyen de ces deux formules on déterminera les coefficiens P(X, n* — i), en supposant connus les coefficiens P(A, n); on calculera de même les coefficiens PCA, /î— 2), par le moyen dès coefficiens P(A, » — i), et ainsi en rétrogradant, jusqu'à ce qu'on ait les coefficiens de toutes les puissances de D dont on demande le développement.
Nous proposons de commencer par la puissance la plus haute, parce que les puissances inférieures m déduisent avec facilité des supérieures, au moyen des formules (5o) et (5 1 ).
2^. On pourra aussi, si on le juge à propos, suivre une marche inverse , c'est-à-dire calculer les coefficiens P(A, ;i-(- i) par le moyen des coefficiens P(A , ri) supposés connus. C'est ce qu'on exécutera par les formules (26) , qui peuvent être mises sous cette forme :
P(X, ;H-,)+P(A-hl, K+l)= (A+»)P(A,»)-(A+.-»)P(A+.. n) ^ ^ 7i(l— a)* '
Il est visible que les mêmes formules serviront à déduire les coefficiens P(A, /! + 2) des coefficiens P(X , /i-f- i); ainsi le développement connu de D""* fera connaître le développement des puissances successives D"", D"*"*, D— -% etc.
T. II. 88
55o APPENDICE,
25. On a va que deux transcendantes connues dans la suite Po| F,, P., etc., suffisent pour déterminer toutes les autres représentées par F(A} ou P(X, n), et par conséquent pour avoir le développement complet de D^. Ces deux mêmes transcendantes suffiront donc aussi pour déienniner tous les coefficiens représentés par P(A, nzhk), et par conséquent pour avoir le développement de la puissance D~"^*, k étant un entier quelconque.
De plus, si l'on compare entr'elles les deux valeurs de A(A) ou A(A, «), données par les formules (i8), on trouvera immédiatement
A(A, ») = (i — û»)*— A(A, I — ;i) j d'où résulte la formule
^ ^ P(A,1— Uj I— /*.2 /».3— 7». .. .A— 7» ^ -' '
laquelle revient à l'équation (9). En vertu de ce théorème, on connaîtra toujours exactement le rapport des deux fonctions P(A, n)^ P(A, i ^^n); de sorte que l'une peut être déterminée par l'autre. Ainsi le développement de D""*"*"* peut être déduit immédiatement du développement de D""", et réciproquement
Donc les deux transcendantes qui suffisent pour déterminer en général les diverses valeurs du coefficient PCA, /*), suffiront aussi pour déterminer toutes les valeurs du coefficient P(A, i — »), et par conséquent encore toutes celles du coefficient P(A,d=A:— /i), k étant un nombre entier quelconque.
Combinant ce résultat avec celui qu'on a déjà trouvé, on voit que les deux transcendantes qui servent à former le développement complet de D"^, suffisent en mcme temps à former le développement tant de la puissance D"'**^* que de la puissance D" — *, k étant un entier quelconque.
§ m. Application de la théorie précédente aux cas de n= ~ e/ n = |-, oii Ton montre V usage des fonctions elliptiques pour faciliter le calcul numérique des coefficiens,
36. Exemple I. Soit a^^sy et soit proposé de développer les deux
puissances D *, D~*; le tableau suivant donne les valeurs des coefficiens successifs, jusqu'à ce qu'ils deviennent trop petits pour entrer dans le lo"* ordre de décimales.
PKî)-
