oo
Le peu de convergence de ces séries exigerait qu'elles lusseut poussées très loin , pour que les coefliciens devinssent néghgeables. On en jugera par la formule (17) qui, étant appliquée au cas de A = 5o, donne
ï^(5o, ^ = 0.00000 ooio5 755, P(5o, I) = 0.00000 11659 ^5^-
5o. Puisque la théorie des fonctions elliptiques peut faciliter beaucoup la détermination des coeflficiens P(A, 7) et P(A, |), dans le cas où a est très peu différent de l'unité, il importe d'examiner avec soin les conséquences ultérieures qu'on pourrait déduire de cette théorie.
Soit donc proposée la quantité D'=(i-f-o' -—^^cos^)» ; je fais ^=24 ^^ cz^^, et faiD*=(i + «)Cï— ^ sin*4)^ ouD* = (i+a)A,
en faisant a = v/(ï — c* sîn* 4).
Du module c qui a pour complément i =3^/(1 — c*), on déduit le
module suivant c° par la formule c'^^—r-ry laquelle donne dans ce cas
<?• = tf , et son complément i* = ^ {i — «*). Si ensuite on prend une nouvelle amplitude 4*<1^ satisfasse à l'équation trigonométrique tang (>|/*— -%[/)= b tang \j ou qui soit donnée par la suite
4* = 24-"^ sin 3>j/4"â ^* sin 44— ja* sin 64 + etc., on aura la transformée suivante, oii A** représente ^(i— c** sin* 4**)>
c" cos 4^*» + A«
de là on tire, en observant que c* = fl,
D» = A» + a cos 4%
(55) D"*= ^lufLSeîi!.
Mais si on fait a^ = I . |^(\^> D*=i+a°*-.2a* cos(p%(p<>=a4' on aura semblablement (D*)» = (i +a*)A*», ou A°= -——7; donc D"*
OU
(56) (i+a--:2acos(p) *= i o,^a>)(i+^) ^-
3i. La relation directe entre ^^ et ^, par laquelle on obtient cette transformation, est contenue dans l'équation
tang (^ ç — ^(p°) = * cot i <p.
Mais pour qu'il n'y ait pas lieu à ambiguité, quand on veut déterminer ^"^ par le moyen de (p , il faut imaginer que Parc <p augmente indéfiniment de- ])uis la valeur zéro jusqu'à tant de circonférences qu'on voudra. Cela posé, l'arc (p"" devra satisfaire à l'équation sin (^ + 7^ — \(p^) ^ asin (î^ + î^*); d'où l'on voit qu'en désignant par 6 le plus petit des arcs qui ont a pour sinus, la quantité ^-f-î^ — î^* sera toujours renfermée entre les limites + G et — G , de sorte qu'on pourra supposer ^* = 2^ + ^ + G sin A , A étant un angle qui varie avec ^; c'est aussi ce qui résulte de la série •
•^^* s=:^-|- ^ + asin ^ -f- î^* Un a^ + ^ un 5^ -f* etc. Maintenant comme a** sera toujours plus petit que a y puisqu'on a
g^s=B .\y) ^N> ^ fonction (D*)* se développera en une suite
m- aL| cos ^•-f- 3L^ ces 2^°+ aLs cos 3^ ■+- etc. ,
dans laquelle le coefficient l(k) est en général la valeur de la fonction P{ty n)j lorsqu'on fait /i = — • 7 et qu'on met a^ au lieu de a.
Dans le cas de l'exemple III, on a a^s=o.i85o8; ainsi la suite Lw> L|,
L., etc., doit être fort convergente; on trouve en effet le terme
L,« ss o • 00000 00007 735.
Cette suite étant trouvée, le développement de D**, ordonné suivant les cosinus des multiples de p^ , sera
\^1)^ ~(i a*)(i+a«) • i +av/a».8mi^*> • j
On pourrait, pour plus de symétrie, mettre au lieu du terme :2|/a*.sin|f*,
sa valeur
Wj£ ( acos^* acosa^ a cos 3^** \
