V"" 1.3 "T:5 J7^ ®^^VÎ

mais cette suite n'étant pas suffisamment convergente , il vaut mieux ne rien changer à la formule.

Sa. Si on voulait avoir le développement de D"^, on le déduirait aisément

de l'équation (i — fl*)D"'* = A' — /icos4**> qui, étant élevée au cube, donne

(i — ^•)»D"» = A*(A**+ 5a» cos» 4*) — a cos 4^(3A«»+ ^•cos*4*). Mais on a A'»= i — a*+a»cos»4*> d'où

A^(A"+ 5fl»cos»4*») = 5A°'— 3 (i — a*) A%

a cos 4**(5A»*+ a» ces» 4*) = ^ cos 34* + 3a cos 4* ; donc

(i fl*)3D"ï = 4A«»— 3(i — fl*)A*4-3flcos4*-|-a«cos54^ Substituant les valeurs A° = -^^, 4°=- +t ^°> il y\eti\. enfin ,

Or on a déjà fait (D^)* = U-f- aL, cos ^* + aU cosa^^+ aL, cos 3^°4- etc. ;

supposons qu'on ait semblablement

(D°)» = M, 4- aM, cos ^° H- aM, cos 2^" + aMj cos 3^° + etc. ,

on pourra déterminer les coefficiens M,, M,, M., etc. d'après les formules (17) qui donnent :

M. = (i + a»*) L, — aa°L,.,

M. = --|a»(L. — L.), M. = — |a»(L. — L,), M, = -fa»(L. -L^, etc.

On connaîtra donc le développement de D""*par l'équation

(, — .fl«)5D '=pjj-7r3(M. + 2M,€0S(p*-f-2M,C0S3^^+3MsC0s5^*-f-etC.)

(38) . ^^'jr^-(L> 4- ^Li cos (p° H-aL, cos 2(p'»4- aL, cos5^*+ etc.)

— 5asin7^* + û'sinx^*,

et ces séries exprimées par l'angle (p^, seront en général beaucoup plus con* vergentes que celles qui sont exprimées immédiatement par l'angle ^.

35. On pourrait ultérieurement réduire le développement de D*"* à celui

de (D°*)', dans lequel les coefficiens décroîtraient encore plus rapidement, puisque a*^ est beaucoup plus petit que a®, et il serait facile de continuer à volonté ces réductions. On a en effet les équations successives:

ri-a«)D-^ = asini<p«'+ ^(D»)',

(D»)' = - rf> sin i ^-o + ^-^ (D'of ,

(D-)- = - fl-osin i ^«o-H- ^^ (D«~)- , etc.

d'où résultent ces valeurs de (i — a*) D"*,

( I — a«)D" * = asin l<p* — ^^ sin i(p«»— ''^f'^ sin i ^«^

etc.

T. II. 89

Mais à cause du décroissement très rapide de la suite a^tJt^ o^* ^ a*** , etc. , les quantités I>, D**, !>••, etc. tendront non moins rapidement vers leur

limite qui est l'unité; et à ce terme, le produit —r^ . iT/^ • Ji/S^' ^^'

sera ce que nous avons désigné par ^r, donc on aura généralement ,

flOa*»**

(Sg) (i— a*)D •s^asinir— ^^sin^^»*— ^lïl^j sini<p»^— etc.

Cette formule a beaucoup d'fmalogie avec celle qui donne la valeur d^un arc d'ellipse; elle forme une suite très convergente dont il suffira toujours de prendre un petit nombre de termes, et au moyen de laquelle on exprimera en

quelque sorte rationnellement, la quantité irrationnelle (i-f-^^^a^scos^)"'. Mais ce développement a l'inconvénient d'être formé avec des variables ^*, ^^, etc., toutes différentes les unes des autres, et par cette raison, la formule est plus curieuse qu'utile. Il n'en est pas de même lorsqu'on s'en tient à la première transformation , et il est permis de croire que l'expression que

nous avons donnée de D*^ en fonction de l'amplitude ^'', pourrait s'appliquer utilement dans quelques cas difficiles de la théorie des perturbations des planètes.

54. Si l'on Élit ^ = 0, il en résulte ^•ss^, ^<>*=:37r, ^^•zz^jw, etc., et l'équation (Sg) donne

Ainsi on a en général cette valeur de rr :

Cette formule qui résulterait également de la supposition ç = ^, peut se déduire facilement des formules déjà connues: en effet on a a=-^J- — .

^ = ^ ^qooi etc.; ainsi les différens termes de la suite précédente peuvent s'exprimer comme il suit :

On aura donc

Cette série, selon qu'on rarrête au a"* terme, au 5**% au 4"% etc., donne successivement les résultats :

, etc.

Ainsi on aura en général K=(i + a**) (i + û'*) (1 +«**••), etc., ce qui est la valeur connue de cette quantité.

$ IV. Calcul des coefficiens différentiels de la fonction P(x, n) en faisant

varier a.

55. Proposons-nous maintenant de trouver les coefEciens différentiels de la fonction P(A), pris par rapport à a.

Puisqu'on a en général P(x) = - | ^— , si on différencie cette équation par rapport à a, on aura

d? (x) an rd^ 00» A^ , ^v

da OU

Appelons comme ci-dessus Q (x) ce que devient la fonction P(x) lorsque n se change en /i -f- 1 9 nous aurons

Ainsi en supposant connus les coefficiens Q09 Qo Qâ» etc. qui appartiennait au développement de D'"^* , on connaîtra les valeurs successives du coefficient différentiel , ■ ; il n'y a pas même lieu à excepter le cas de x = o, parce qu'alors on a Q(— i)=Qi, et qu'ainsi la formule (4o) donne

36. Si l'on veut déterminer les coefficiens différentiels -7-^, sans supposer la connaissance des coefficiens P(x, n^ i) qui répondent à l'exposant /i-|- I , et que nous avons désignés par Q(x)9 v6ici comment on pourra y parvenir-

56o APPENDICE,

L'équation (19) étant mise sous cette forme

^P(x) = «[Q(x-i)-Q(x4-i)], si on la différencie par rapport à a, on aura

substituant au lieu de ^ ^ , sa valeur donnée par l'ëquation (4o) , on trouve

Puisque n n'entre pas dans cette équation, on peut mettre P (x) au lieu deQ(x), et on aura Clément cette formule générale :

(Al) ^(A-O rfP(A+l)(A-OP(A-l) + (A + l)P(A+|) ^^p/j^x

Elle donne successivement

d'où l'on voit que , pour calculer les coefficiens différentiels successifs ■gr-, -^, -^, -^, etc., il suint de connaître les deux premiers -^ , -r^.