On a pour cet effet les deux équations

^=»(2Q.-aaQ.),

^ = »(Q.H-Q.-aiiQ.),

dans lesquelles il faut substituer les valeurs de Q,, Q, , Q., exprimées en P, et P, , d'après les équations du n* 18; cette substitution donne

SECTION I. 56i

Mais on peut mettre ces équations sous la fonne suivante y plus commode pour le calcul numérique^,

Ces formules se simplifient encore dans le cas de /i = ^ , et donnent //jx dPa oPo— P. c?P, __ I û?Po

d!a i— a*' cfat a * da ^

c'est aussi ce qu'on trouverait i(pmédiatement par la di£férentiation des équations (29) , en observant qu on a ^ = ^f^J ' ? "5^ =— ^(F — £')•

38. Si ou veut avoir la valeur générale du coefficient différentiel ~r-^ 9

exprimée par les fonctions P seulement, on la déduira aisément des équations (4o) et (^3); mais voici un moyen d'y parvenir qui nous fournira en même temps de nouvelles formules.

TVT T-1 * ' ^W r(« COS^)d(^COSA^

INous avons déjà trouve ^-^^^ = —-2/1/ -^ gj;:; ^ j on a sem-

blablement tt ^^il =:-a»/^"-«"i^^,r^^+ilg ■ de là résulte

— ^^tlîi— -û ^^^ = — I ^^,[(a— cos^)*cosx^+(fl— cos^)8in^sinA^]* Le second membre se réduit à

-y ^.— +vy ^rrr [^smxcp— sm(^^.IJ(p], et au moyon de l'intégration par parties, il se réduit ultérieurement à

sin (a + i)^ — asin A^ . 2/>+A fdpcosxp /A + i\ /^dipcog(A + i)f iD^ ^ ^ J D» V air /y B? •

La partie hors du signe est nulle dans les deux limites de l'intégrale, et

l'autre partie = (a/i+x) P (a) —r )P(^+ï)} donc on aura la formule

(44) ^^ - "■ T?* = (=»+-) PW- (^) P{^+ .)•

Si on change le signe de x et qu'on observe que la formule. . . . P(x) = If^ï^iS. donne P(—x) = P(x), on aura semblablement

56a APPENDICE,

(45) ^?^-a^> = (a«-x)P(x)4--i:=LiP(x-0.

Ces deux équations donnent par leur différence la formule (41)9 nuds, pour en déduire la valeur du coefficient cherché -^> il fi»«t encore recoilrir à l'équation (i3)^ dont la différentielle est

et par la combinaison de ces trois équations, on aura

(46) (i^*)e[^ — (x,+;ï)P(x,)— (x+i n) P(^^-,)^-a/IaP(4

D'où Ton voit ^ue le coefficient différentiel — ^- se détermine assez sim-

plement par les trois termes consécutifs P(x — i), P(x), P(^ -+■'); il pourrait se déterminer par deux seulement de ces termes, en éliminant le troisième à l'aide de l'équation (i5) ; mais la formule qui en résulterait serait moins simple que la précédente.

59. Au moyen de l'équation (46) on pourrait trouver la valeur du coeificient différentiel "j^j exprimée par las fonctions P(^); mais cette expression serait fort compliquée, et la complication augmenterait encore dans la valeur des cœfficiens différentiels des ordres supérieurs. Pour éviter cet inconvénient, on pourra former successivement les cœfficiens différentiels de chaque ordre, à compter des deux premiers termes où l'on a x^o et Xs= I , par la méthode suivante, analogue à celle que nous avons suivie pour les coefficiens différentiels du premier ordre, dans les art. 36 et 5j.

De l'équation (40 ^^ ^î^> P^^ 1^ différentiation ,

ainsi, on connaîtra 1^ valeurs successives de , , , si on connaît les deux premiers termes -^p, -j^.

Or, par la différentiation des équations (42)» on a ces deux» formules :

,,Q\ • ' \ aa- aar / \aa ' aa a/ a* '

^"^"^Vd^ --s?-;™ Hd5-""'aï + T;^-^'

ainsi ou voit que Iqs termes -j^y -^r ^ déterminent par des qua,ntités

connues, puisqu'on est censé avoir formé la suite des coefficiens différentiels du premier ordre, avant de passer à ceux de second ordre.

4o. On peut encore simplifier cette détermination et celle des coefficiens différentiels des ordres supérieurs, par les considérations suivantes. On tire d'abord des équations (48)*

ddPo ddP, dP,

d^un autre côté , les équations (4^) donnent

combinant entre elles ces équations, on en déduira les deux équations différentielles suivantes, pour déterminer séparément les fonctions Po et P.

{a-c?) ^•+[,-(4„4.,>,.]^- - 4„.flPo = o

(«'-''♦) ^+[«-(4»4-iy]^ - [1 + (4»-- iK3P.= o.

De là on voit que le coefficient du second ordre ^^~ se déterminera directement par le moyen des deux quantités -^ et Po, et que le coefficient --—

. se déterminera de même par le moyen de -^ et P,.

4i. Les mêmes équations feront connaître, par des différentiations répétées, les coefficiens différentiels des ordres ultérieurs. Ainsi l'équation relative à la fonction P, donne successivement :

(«-^■^+£4— (4H-8K] -2if--(4»»+ao»+ia)a-g^— (ifl«»+i2i.)^i=o, (5o)

//5p jk\i J3p jyp

Ces équations dont il serait facile de trouver l'expreasion générale, font

voir que la série des coefficiens différentiels -r-i, "S^* "ST* ^^' peut être

prolongée aussi loin qu'on voudra, et que chacun d'eux se déterminent toujours par les trois précédens.

4a. G>nnaissant les coefficiens différentiels de la fonction P^ , on pounra en déduire ceux de Pq par les équations successives

rfP,

ddPo da*

ddP, dà"

dp,

da *

ûPP, da^

etc.,

équations dont la loi est manifeste.

On peut aussi déterminer directement ces coefficiens, à compter du second ordre , par les équations successives

' ^J dSV d?P #/»P //P

(a-o»)^ +C3-(4« +7)a«]^-K4««+i6/.+io)a^-(8««+8» +a)^ = o ,

/^P /^4P //'P tt^

etc.

45. Connaissant les deux premiers termes du second ordre —j-^ , -^r> ^^ calculera les suivans par l'équation déjà trouvée

Cette équation étant différenciée successivement , donnera les formules suivantes :

etc«

Par les équations (5o), (5i), (Sa), on connaît pour un ordre quelconque A:,

les deux premiers coefficlens différentiels -t-tj T/Tî ^^ pourra donc, parles

équations précédentes, continuer indéfiniment le calcul des autres coefliciens différentiels du même ordre k.

Toutes ces formules sont disposées de manière que les quantités a et i— a* entrent conmie diviseurs au moindre degré possible; elles seront sujettes a quelques inconvéniens, lorsque a sera très petit et lorsqu'il sera très près de

l'unité; dans le dernier cas, les valeurs du coefficient "jk deviennent de

plus en plus grandes à mesure que k augmente; mais les formules précédentes donneront toujours à -peu près le même degré d'exactitude relative sur la valeur des quantités qu'on cherche; c'est-à-dire que le nombre de figures exactes par lesquelles elles sont exprimées, sera toujours à peu près le même.

44* Lorsque a est très petit, on peut éviter tout-à-fâit l'emploi des équations précédentes, et déterminer directement les valeurs des quantités P(A) et de leurs coeffîciens différentiels de divers ordres, par le moyen de la formule

En efiet, si pour une valeur donnée de A, on calcule les différens termes de cette suite, que nous désignerons par Gï^, C'a'^+^, etc. , en sorte qu'on ait

P(X) = Ca»^ 4- Ca^-^ » 4- C V+ 4 + C V+6 etc. ;

les coeffîciens différentiels successifs de P(^) se détermineront immédiatement par les formules

f??W.r ^- 1 -^(A+a)(ra^ "♦• «+(a+4)C V+ ^+(A+6)(ra^+ ^^^c. ,

da ddPM

-~-^=A.A— I.Cû^-^+A+2.A+I .(r«^+A+4.A+3.CV^*+Cttî. , (54)

— rW ===A.A— I .A— 2.Ca^--^+A+^

etCa ,

et on voit que les calculs seront faciles à cause de la convergence des séries, et de l'emploi répété des mêmes coefficiensC, G', C, etc.

45. Nous remarquerons que les calcub sont susceptibles de quelque simplification, si, ayant à calculer les coeffîciens différentieb de la fonction P(x)

T. n. go

qui répond à Texposant n , on connaît déjà les valeurs de la (bnctioD Q(x) qui répond k l'exposant /i-|- i. En effet, d'après la formule (4o), on aura successivement

^ = «(aQ. -a^iQ.),

^ = n(Q. + Q, -aaQ.),

^ = «(Q. + Q, - oiiQ.), etc.

Pour avoir une expression semblable des coefficiens différentiels du second ordre, je différencie l'équation (4o), et j'en tire'

J'observe ensuite que si on met /»+ i à la place de /i, et Q à la place de F 4ans les équations (44) et (4^), on aura, en ajoutant ces équations ,

substitusuQt cette valeur dans l'équation précédente , on aura la formule

{55) ^^=a»(a»:-f OQW+^K^- i)Q(x- 1)-(^4- i)Q(xH- .)].

Ainsi on voit qu'au moyen des fonctions Q(x) ou P(x, /*+ i), on pourra déterminer les coefficiens différentiels du premier ordre -^— par la formule

(4o), et les coefficiens différentiels du second ordre ,\ par la formule (55). 46. Dans le cas de /i=s 3 , les deux fcHinules (4o) et (55) donnent

^^} d^X) __ . (A- OQ(A - 1) - (A + OQ(A + O

Voici l'application de ces formule^ au cas de l'exemple III, dans lequel on a déjà calculé ks prenûères valeurs de Q(^) > désignées par P(x, f).

ddf{K\)