ctc

^ ïTâ •a+i.a+2*(i— a*)"-^*

Soit donc ^^y-jj — ^— = F (ft, ir), F(^, f) désignant une fonction connue

de a et des exposans ft et y ; on aura en général :

Lorsque x est très grand , comme nous le supposons , cette suite est assez cou-

vergente dans ses premiers termes, pour qu'on puisse n^Iîger les ternoes suivans; la question est donc réduite à trouver la fonction F pour un ordre donné kj ce qui n'aura aucune difficulté tant que k sera d'un petit nombre d'unités.

§ V. Résumé général de la Théorie pi*écédente.

48. Il ne sera pas inutile de présenter, sous im même point de vue, les principales propriétés de la fonction P(x,/i), que nous avons démontrées dans cette section,

I. Cette fonction est purement algébrique lorsque n est un nombre entier positif ou négatif. Dans tout autre cas, les fonctions P(x, n) forment un genre particulier de transcendantes, qui a de l'analogie avec les fonctions elliptiques complètes de la première et de la seconde espèce, et qui se réduit à ces fonctions lorsque 2/1 est un nombre impair.

II. Si on considère les valeurs de P(x, /i), qui répondent tant aux différentes valeurs du nombre entier x, qu'à toutes les valeurs de n qui ne diffèrent entr'elles que d'un nombre entier, toutes ces valeurs peuvent se déterminer par le moyen de deux transcendantes seulement, pour lesquelles on peut choisir deux termes consécutifs, tels que F(k, n), F{k -{- i , /») ou P(A:,/i),P(A,/i+i).

III. 11 en est de même des coefficiens différentiels — ^~ , — 5-;— >

— -^ — , etc. à l'infini, lesquels peuvent, dans les mêmes cas, être déterminés entièrement par les deux mêmes transcendantes. Cette propriété que les fonctions P(a, n) partagent avec les fonctions elliptiques complètes F'c, E*^^ n'a pas lieu dans un grand nombre de transcendantes, et notamment dans les fonctions log Ta , dont les coefficiens difl'éreutiels successifs offrent des transcendantes différentes de la fonction principale.

IV. Les deux mcmcs transcendantes qui déterminent les diverses valeurs de la fonction P(x, /izbA:), x et A: étant des entiers quelconques, peuvent aussi servir à déterminer la fonction P(x, i — /izfcA), ou simplement P(x, db A: — n).

Ainsi en général, les deux transcendantes par lesquelles on peut effectuer le développement de D""", serviront aussi à effectuer le développement d'un terme quelconque des deux suites

y. Quel que soit l'exposant n^ pourvu qu'il soit positif, la valeur du coefficient différentiel d'un ordre quelconque — -j-l — sera toujours positive.

yi. La plus simple des transcendantes désignées par P(x, n)y est P(o, /i); si on la désigne par 4(^) ou 4? ^^ valeur sera donnée par l'une ou l'autre des deux formules suivantes :

yil. 11 résulte de la deuxième propriété qu'au moyen des deux fonctions consécutives '^{n)^ ^C^"!" 0' ^'^ pourra en général exprimer exactement la transcendante P(x,/ï), et plus généralement la transcendante P(x,dbi}-)-A); k étant un entier quelconque. 11 en sera de même des coediciens différentiels de cette transcendante.

49. Puisque la fonction P(o, h) ou '^(n) est la plus simple des transcendantes désignées en général par P(x , /i), et qu'elle sert à exprimer ces transcendantes, nous examinerons succinctement les propriétés qui lui sont particulières.

Ou déduit immédiatement des équations (5g) j

d'où il suit que les fonctions 4('') > 4(^ '^^)f qui se servent en quelque sorte de complément, peuvent être déterminées l'une par l'autre.

En faisant n négatif dans celte équation , ou en mettant*— /i à la place de n^ on a l'équation

d'où il suit que toute fonction 4( — ^) dont la variable est négative, peut se changer immédiatement en une autre dont la variable est positive.

On peut réciproquement changer toute fonction 4('') dont la variable est positive, en une autre dont la variable soit négative, pourvu qu'on ait /i>>i ; cela résulte immédiatement de l'équation (60).

Lorsque nest<C i , la réduction ne peut plus avoir lieu, parce qu'alors n et I — /i sont tous deux positifs. Ainsi la formule (60) donnerait, par exemple, 4G)=(ï —^0''4^(î) >+(?)=(»— ^')'4(l)? ce qui ne se rapporte qu'aux fonctions complémentaires.

50. Lorsque a sera très prè| de l'unité, on ne pourra que très difficilement

déterminer, avec un certain degré d'approximation, la fonction '^ par les suites (59) ; dans ce cas, on ne peut mieux faire que de cherciier la valeur de

%|/(/i) par les quadratures. On a d'abord '^(n) = ' / ^i mais cette valeur

n'est bonne à employer que lorsque n est négatif, parce que D étant très petit

pour les premières valeurs de 9, l'ordonnée jr^ de la courbe à quarrer serait

très grande , si n était positif.

Au moyen des quadratures, on trouvera donc très aisément la valeur de

^( — m)f en employant la fornmie 4( — *») =- fï)^d(Py et cherchant la valeur de l'aire pour les limites ^ = o , ^ = ^.

Et puisqu'on a 4(''»H- 0 = (i — ^*)~""'"'4'(*^''*)> il s'ensuit qu'on aura, par le même moyen, la valeur delà fonction ^{n) pour toute valeur positive de n, pourvu qu'on ait /i ^ i.

Il reste donc à voir ce que l'on doit faire lorsque n est positif et ^ i .

5 1. Si on faity = |r~, et qu'on différencie chaque membre par rapport à 9, on aui%, après quelques réductions,

WV = (i+«)(i-a»)-j^.-(i+a«)(.+«-)^-:+»g;

intégrant de part et d'autre dans les limites fixées, et observant que dans ces limites y s'évanouit, on aura la formule

(62) o=/i4</i)— (i+2/i)Ci4-«*)+(/»+i)+Ci +'»)(i— tf')*4(«H-2).

Cette formule, au reste, serait facile à déduire de celles qui ont été trouvées ci-dessus pour les fonctions P(x , n)-^ mais nous avons préféré de la démontrer directement.

5^. Au moyen de la formule précédente, toute fonction '^(n)^ dans laquelle n est plus petit que l'unité, pourra s^exprimer par les deux fonctions ^(n -}- i) , '^{n -)- 2), dans lesquelles la variable est plus grande que Tunité ; celles-ci se déterminent facilement par les quadratures, ainsi qu'on l'a Eût voir dans l'article précédent : le cas de n positif et ^ i se résoudra donc de même parles quadratures.

On aura, par exemple , d'après la formule (62) ,

d'un autre côté par la formule (60) , on a

donc

et par conséquent •>|/(^) se détermine ^u moyen de la formule

53. Connaissant les fonctions '^{n) , 4(/ï + i ) , •>!/(» + 2) , etc. , au moyen de deux d'entr'elles, on pourra de même déterminer les valeurs de leurs coefficiens différentiels successif , pris par rapport à a.

En effet, de l'équation 4(«) = - / ^> on déduit }i — — ^/(^— -cos^)

s^. Substituant la valeur a — cos 0 = •^^— ; il viendra , - =

D«+» ^ 2a ' ■ fia

— f ^— ' ^ / ^t:xï* ce qui donne la formule

11 est visible que par cette formule on pourrait obtenir? la valeur du coefiicient

différentiel A , exprimée par les fonctions 4('*)> •4'('*+')> ^('^H*^)»

ou seulement par les fonctions %|/(/i) , •>(/(/} + 1) 9 puisque 4('^ + ^) P^ut être éliminé au moyen de l'équation (62) : on aurait de même l'expression des coefficiens différentiels des ordres plus élevés. Mais on peut plus directement parvenir au même but par le moyen des équations (5^) , où la fonction désignée par Po n'est autre chose que ^(/ï) ou 4* ^"^ vertu de ces équations on a d'abord

d^où il suit que le coefficient différentiel du second ordre <^^, se détermine

directement pair le moyen de 4 et de-?-, et qu'ainsi il peut être exprimé par les deux fonctioi^s ^('^ ^^ 4(^ H~ < )• On voit ensuite par les m&oa^^ éqMations, qu'à compter de -^^ un terme quelconque de la &ai|t^ '^^ ~dà'*

d^ j -y^ f -^9 etc. , se déduira des trois précédens, suivant une loi dont il

serait facile de donner l'expression générale.

«W»MWWWWMW<MW<»^»M<W»l<IWWWM<W»<»W»l<»WWIM»IMM»W»»»»»l%»»»W^^

Des Quadratures.

Alvkïs avoir traité d'un grand nombre de transcendantes que l'on peut évaluer avec plus ou moins de facilité par les méthodes qui leur sont propres, nous allons donner les moyens de trouver la valeur aussi approchée qu'on voudra d'une intégrale quelconque Jjrdx prise entre deux limites données, ce qui est l'objet du problème général des quadratures.

$ I. Formules générales pour les Quadratures.

54- La question étant de trouver la valeur de l'intégrale Z=z/ydx entre deux limites données, nous prendrons pour ces limites xsso et x:=:«; parce qu'on peut toujours fixer l'origine des abscisses au point où commence l'aire cherchée, de manière que Z et x s'évanouissent en même temps.

Pour obtenir plus facilement le degré d'approximation qu'on peut désirer, nous supposerons :

x^. Que dans l'intervalle donné depuis x=o jusqu'à jf=â, la fonction j" reste constamment de même signe, et nous regarderons ce signe comme positif; s'il en était autrement, on chercherait successivement les différentes parties de l'aire sitttées de difierens côtés de ]a ligne des abscisses , et on retrancherait la somme des aires négatives de la somme des aires positives;

:i®. Que la courbure de la courbe, depuis â?=o jusqu'à jr=a^ n'éprouve

aucune variation assez brusque pour que l'un des coefficiens ^, ^, ^, etc.,

devienne infini. Ainsi dans toute l'étendue de la courbe que nous voulons quarrer, l'ordonnée qui répond à une abscisse x-j-a très peu difiërente de x, pourra s'exprimer avec une exactitude suflisante par la suite

j^H- et ^ + -- • ^ "^" "^ • ^+etc., sans qu'ily ait lieu à exception pour aucun point. Cette condition est surtout nécessaire aux deux limites de l'in»'

SECTION n. 573

tégrale (*); elle est moins importante dans les pofnts intermédiaires parce que , si elle n'avait pas lieu , on trouverait assez facilement dans chaque cas particulier la correction que cette cause d'anomalie exigerait. ( Exerc. de Cale, iniégr.j tom. I, pag. 3 14)

55. Cela posé, divisons en n parties égales la£ase a de l'aire qaenous voulons évaluer, et soit a:=:nâi; on pourra imaginer que l'aire cherchée Z est composée d'un nombre n de trapèzes curvilignes sur un côté, dont la base commune sera <» , et qui auront pour côtés parallèles deux termes con* sécutiÊ de la suite Fo , Fâ» , P(^^)> F(3â»). . •F(/iû»), formée en supposant J^ = F(x).

Le prebaier trapèze est mesuré approximativement par i<»(Fo +¥<»), le second par ^ ai (Ftv -f- 1^^^) > ^^^ ^^ suite; donc la somme de tous le sera par la suite

û,[iFo + F« + Fa«- . • +F(x — û>) + ^Fx],

où il faudra faire ar = a = nâi. Cette suite ét^nt représentée par ncûM ou nM, M sera la moyenne des n ordonnées 7 (Fo 4* Fx), Foi, F(aâ)).«. • F(x— «#), la première ^(Fo + Far) étant elle-même une moyenne entre les deux extrêmes Fo , Fx.

On peut encore évaluer , d'une manière approchée, le premier trapèze par €JP(-ieû), le second par c»F(4â»), etc., et la somme de tous par la suite

»[Fi« + F|«H-F|.«.., -|-F(a: — !«)].

Cette suite étant représentée par nco^ ou â?f , N sera la moyenne des n OV" données Fi«,F|a, F |«... F(x— iû>).

Ainsi ^ nous avons deux valeurs approchées de l'aire Z, savoir Z=aM et Z s= aN. Mais il reste à trouver la correction qu'il faut appliquer à ces valeurs approchées pour en avoir de plus exactes et pour connaître en même temps le degré d'approximation qui correspond à la valeur prise pour n et qui doit augmenter à mesure que n est plus grand ou ù» plus petit.