Pour cet effet , soit Y ou \{x) la somme de la suite

F» + F2« + F5»,-o. +F(x — «)-f.F(ar);

(^) La simple substitation x = <", on « — « = <", suffira, ea déterminant oonfenaUe* ment Fexposant m, pour faire remplir cette condition dans Fune des doux limites , an moins pour quelques-uns des premiers ooeiBciens différentiels.

T. II. 91

si on met x — « à la place de x et qu'on prenne la difiTérence des deux suites, on aura F(x) = V(j:) — .V(« — «#) , ou

F*=«. ^- - . ^ + ^ . gy-etc.

De là on peut tirer une valeur de têS qui sera de la. forme

«V =/Fdlr +i«F H-AV^H-BV g + CW gp^-elc. ;

et comme cette équatiou est linéaire par rapport au^ fonctioDa F et Y, les coeflliciens A', B', C\ etc. seroqt les mêmes pour toute valeur de Y. Soit donc Y ou Y(x) = e*, on aura

F = «--e— =:«-(i-<,-), /F<ir = F,f = F,g = F,etc.

Donc

û> = (i — e— ) (ï + i« H- A'«* + BV + CV + etc.), ou

>• ^1 '^^ \ =: I 4- AV + BV + CV + D'»*-HetG.

Le premier membre est une fonction paire de a» , le second laenJbre ne doit donc contenir non plus que des pnissancea paires de «#• Pipll^Yoir èffxà a cette propriété, nous prendrons de nouveaux coefficiens i^"^ A., As, etc., tels qu'on ait

«V = /FiitH->F4-A.û»-^-A.«*^-t-A,»«g— etc.,

et ces coefficiens seront déterminés par l'équation

Yû) . ^ — 7- = I + A,a* — A.û)* + As»* — etc. ,

ou , en mettant z v^— i à la place de ^û»,

I — z cot z = 2*A, z* 4- 2*A, z* + 2*As z* + etc.

Or , on sait qu'en &isant H» = —^ . $«. > S^» étant la somme de la suite ï + ^« + 3!;;: H- ^-h etc., on a la formule

I — z cotz = aHjZ* + aH.z* + ^HsZ^ +etc.

Ainsi les valeurs de A,, A^, As, etc., se déduisent très simplenq^nt de celles des coefficiens H,, H^, Hs, etc., et il en résulte la formule générale

(0 «V=/F^ + >F + ^-H.f-î;H.g4-^H,g-eic.

Cette formule coïncide avec celle qu'a donnée Euler pour le cas de £0=1 , dans son Cale. diff. art. 1 1 5 ; maià la forme précédente parait préférable en ce que

m^ •* êfi

les coefficiens — H,, -jH^y ns^^s» eic.^ offrent une suite très convergente,

jt jk jk

dans laquelle le rapport de chaque terme au précédent tend de plus en plus

vers la limite 73 ^^ 7" ^ P®° P"^**

57. Si on suppose maintenant comme ci-dessus, que l'intégrale z ^/Fdx est prise à compter de x= o^ on aura en même temps la somme àV = 0;

et SI on désigne par ¥0, -^r» "3i3"> ^^'^ ^^ valeurs de F»-^, -j^j etc.,

lorsque a: = o, il &udra ajouter à l'équation (1) une constante qui réduise les deux membres à zéro lorsque j:s=<k On aura-de cette manière la formule

•+ i5H5(^^--2;^; — etc.

Or la suite désignée pai^ aiY est telle <|ii'enlui4iîotttant le^terme €ê(x¥o^^iFx)j la somme est la^ valeur de aM; on aura donc

etc.

Pour avoir semblablement la valeur de ad y il faut d'abord mettre 7 ai au lieu de cû dans la valeur de ûbIV , ce qui donnera l'équation

i«[Fl« + Fâ> + F|«....-f-F(a: — ia))+Fa:] = /Tir + ia,(Fx-Fo) + î; H. (§-^)

premier mendyre â= ; ^V +? ^9 tiûiû ^^ multipliant les deux membres

par a et retranchant de part et d'autre la valeur de « Y, on aura

^=/F*-?H.(.-0(^^) P) +pH.(.-|)Ç-J)

- S H, (i - j) ^-^) + etc.

58. U ne reste plus qu'à substituer les valeurs numériques des coeffici H,, H«, Hj, etc., lesquelles sont

H.=g, H.=ij, 1?»=:^, H^=:^, H5=p§^,ctc.,

et on aura pour Fintégrale çbercbée Jl?dXy ces deux expressions

fa Ui .

j^ 3ii^ /cf F flPFo\

etc.

TStÇSq

On voit par ces formules- quels sont les* tênpes qu^- fiiut ajoater aux quantités nM et nN pour avoir la vraie râleur de Tint^rale ffdx. Ces tennes forment en général une suite infinie q\d ne peut se terminer d'elle-même que dans quelques cas particuliers , par exemple , lorsque F sera une fonction entière de x. Mais dans tous les cas on obtiendra tel degré d'approxi* mation qu'on voudra, en prenant m suffisamment petit, ce qui permettra de réduire à un ou deux termes au plus, la correction qui doit être ajoutée à la valeur calculée de 4M ou de aN. Au reste, pour diriger convenablement le calcul, il y a différens cas à examiner.

5g. I*. Si la quantité -^ — ^r ^"^ dépend des deux limites de l'intégrale, n'est pas nulle, ce qui est le cas le moins favorable , on pourra,

d'après la valeur de ^ -73- déterminée dans ces mêmes limites ,

voir quelle doit être à peu près la valeur de û» pour que le terme — r^j — -jt) appartienne à l'ordre de décimales qu'on veut négliger.

Cette valeur de ûà fera connaître celle du nombre enlieri» = - qui règle Is

nombre des termes à calculer des suites représentées par nM ou par oN. Ensuite on aura avec le nombre de décimales désiré la valeur defFdXy soit

par l'expression /Tdx = «M — — f^ — -j-j , soit par l'expression . . .

2* Si dans l'hypothèse du cas précédent ^ on veut admettre les deux premiers tei*mes de la correction , il faudra prendre où et par suite l'entier I» = -, de telle sorte que le troisième terme 3—7- Cjrr '~'^js) appartienne à l'ordre de décimales qu'on veut n^Iiger. Alors on déterminera yTiir avec ce d^é d'approximation par l'une ou l'autre des formules

On peut ausâ de ces deux formules en déduire une troisième, savoir :

/T^= I ÇaR+M) - ^ @ ^), (6)

dans laquelle la correction n'est que d'un seul terme j cette formule s'obtiendrait directement en considérant les n trapèzes dont Taire fYdx est composée^ comme étant terminés chacun par im arc de parabole; mais le calcul de cette formule serait plus long que celui de l'une des formules (5).

5*. Si les deux limites de l'intégrale sont telles qu'on ait ^ d^ ^^ ^7

alors les formules se simplifient, puisque la partie principale de la correction disparaît^ et il devient d'autant plus facile de calculer avec un degré d'approximation déterminé l'intégrale /Edx^ au moyen de l'une ou l'autre des formules

4*. U y a enfin un cas qui est susceptible de la solution la plus simple et la plus exacte , mais qui ofire une sorte de paradoxe analytique assez diffidle à expliquer : nous allons l'examiner avec tout le soin qu'il mérite dans le paragraphe suivant.

§ II. Examen iun cas particulier fort remarquable.

60. Ce cas est celui où les coefficiéns^ diffibentiels de degré impair S' S^> grr > etc-, s'anéantiraient tous daiis leadeux Kmkes arso,x=a.

Par exemple, si on avait F(aî) = (i — c* sin'jc)* , k étaiit un exposant <pielconque entier ou fractionnaire, positif ou négatif, et c étant «^ i ^ il est visible que les coefficiens dont il s'agit seraient tous nuls pour les limites ;r=s30, 07= \iC) parce quHIs sdnt tous affectés dû fticteu^ sin a: cos x et qu'aucun d'eux ne peut deveair infini. Dans ce cas particulier les formules (4) donnent /Fdx=sa^ et fFdxsszdHy d'où l'on devrait conclure que non-seulement les quantités ail et oN sont ^ales entre elles, mais qu'elles sont l'une et l'autre indépendantes -du nombre entier n qui désigne le nombre de. termes des séries dont aM et àti représentent les sommes.

Cette conclusion est tout-à-fâit inadmissible; car indépendamment des considérations générales qui doivent la faire rejeter , l'applioaUou de l'exemple précédent' aux deux valeurs particulières.A:s=s^, A: = — ^, donnerait pour les fonctions complètes E'c, F'c, des valeurs de la forme

- A, -B, où A et B seraient déterminables algébriquement; résultat entièrement contraire a la nature connue de ces transcendantes.

-^U faut donc avouer que le calcul nous induit ici en jerreur, et qu'on ne voit guère par quels moyens il pourrait être redressé. Voici cependant une manière d'expliquer cette espèce de paradoxe.

61. Supposons qu'au lieu de cherclier l'intégrale fFdx depuis ar=o jusqu'à a:=a,on veuille seulement la déterminer depuis xszo jusqu'à a: = a <-— ot, « étant une quantité asea petite pour que aFa puisse être négligé par rapport à l'intégrale /Fdx. Alors on pourra regarder l'intégrale dont là limité est ^8= a«— a, comnke sensiblement égale à l'intégrale dont la limite est X'=z a.

Mais» lorsque la limite est a -— ce au lieu de a fies coefficiens différentiels

^j "^T' XS" y ^^^'9 ^^ s'anéantissent plus pour cette limite; ils sont.

d'abord très petits et presque nuls, lorsque la différence est d'un degré peu élevé ; ils augmentent ensuite très rapidement selon la nature de la fonction F; car, par exemple, si on excepte le seul cas où l'exposant m est un entier positif, les coefficiens différentiels de la simple puissance x" forment

la suite

mar^\ m(m — i) ar*^', m{m — i) (m — 2) af^^, etc.,

où Ton voit qu'à compter du terme où l'exposant de x devient négatif, les coefficiens suivans augmentent dans un rapport qui surpasse bientôt tout nombre donnëi

Gela posé, la valeur de /Fdx étant représentée par la formule

•• ,, dF . ê^ ,, ûPF

/Fdxz^(a^a)M-r 7 H. ^+ ^3 H. 3^ - etc.,

on voit que la série qui sert de correction à liai première, valeur (a-— >ee)M, sera convergente dans ses premiers termes qui seront d'abord très petits , mais qu'ensuite l'augmentation^ progressive, des coefficiens différentiels agira en sens contraire de la diminution opérée par les facteurs décroissans

— H,, iH.', etc., et qu'en 6n il y aura un terme où la série deviendrait

divergente.

Avant d'atteindre ce terme, la partie de la série

— r-"* rfï + ? *ï* S? — ? ^» 5? + ^^^-^

qui est convergente, servira à corriger la quantité (a — «) M, et la correction sera de plus en plus petite , à mesure que ûù sera plus petit ou n plus grand. On rentre ainsi dans l'effet ordinaire de la formule générale d'approximaticm, qui est de donner un résultat d'autant plus exact qu'on aura divisé la base a en un plus grand nombre de parties.

62. Le calcul que nous venons d'indiquer dans l'hypothèse que l'on prenne a— -«à la place de a, n'est utile que pour l'explication que nous voulions en tirer , et il n'y aura jamais lieu à l'exécuter. Mous en conclurons seulement qu'ayant choisi une valeur de n k volonté, d'après laquelle on calculera les quantités nM et à!S, l'intégrale /T^x prise entre les limites a:c=so,x = a, sera donnée avec à peu près le même degré d'approximation par l'xine ou par l'autre de ces deux quantités. On ne peut fixer a priori ce degré d'approximation, mais on peut assurer qu'il augmentera de plus en plus , à mesure que n sera plus grand. Nous donnerons bientôt un exemple dans lequel on verra qu'en doublant la valeur de js, on double le nombre des décimales ou plutôt le nombre des chiffres, «ignificatift exacts du résultât. C'est ce qu'on peut démontrer en général pour l'intégrale fdx{\ — c* sin* a:)*, prise depuis a:=so jusqu'à x=: ^tt, dans la supposition que c est ^ X.

58o APPENDIŒ,