CHAPITRE m. 5i

valeur de la différence cTU, laquelle sera

J'U = P + -^ cT'P* — ^ cT^P- + etc.

700. 11 faudra faire altention aux indices qui affectent les différens termes de cetle formule , et en vertu desquels le J^'F^ doit être pris dans la ligne immédiatement au-dessus de celle où est F y le cT^P^^ une ligne encore au-dessus , et ainsi de suite.

En généra], l'intervalle « doit être pris assez petit pour que la suite précédente soit très convergente et qu'on n'ait besoin que de ses deux

premiers termes P + "T J^*P° J ^^ troisième — g-Z- cT^P" servira seulement

à diriger l'approximation pour savoir précisément sur combien de décimales on doit compter, et il faudra par conséquent que ce terme soit moindre qu'une demi-unité du dernier ordre de décimales auquel on veut s'arrêter dans la valeur de cTU.

Il pourra arriver cependant que dans quelques parties de la Table qu'on veut construire , le terme dont il s'agit soit d'une ou de plusieurs unités décimales du dernier ordre ^ alors il faudra en tenir compte, et juger de ce

qu'on néglige par le terme suivant de la série qui est -{- "TFTV"!; cT'P*****, ce

qui obligerait de prolonger la colonne des différences jusqu'au sixième rang.

701. Ayant fixé d'avance le nombre des décimales avec lequel on veut

exprimer les différences SV , on calculera -7 J^*P® en se bornant au nombre de décimales fixé « et négligeant le reste de la division par a4 i ™^^' pour plus d'exactitude, il sera bon de prendre toujours l'entier le plus approché du quotient, et de tenir compte du reste dans Topération suivante. Supposons, par exemple, que ^*P* divisé par :i49 donne le quotient (f et le reste r; alors dans l'opération suivante, pour former /U', on divisera J^*P + r par a4, ce qui donnera le quotient ç' et le reste r', et ainsi de suite. Cette manière d'opérer, dont nous avons fait l'épreuve, donne des résultats plus exacts et empêche les erreurs de se multiplier.

Nous distinguerons cette première méthode par le nom de Méthode des ordonnées moyennes j parce que l'ordonnée v qui sert à former l'auxiliaire P = av , répond à la variable ^ + t «, moyenne entre les deux valeurs consécutives (p et ^ + ^ ? elle suppose que la quantité P est calculée pour chaque valeur de ^ , avec une grande précision , et même avec une ou

Sa CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

deux décimales de plus qu'on n'en veut avoir dans la valeur de U ; or la quantité P , peu différente de la différence première cTU, est souvent d'une grandeur telle qu'il faudrait la calculer par des Tables de l(^rithmes à dix décimales , ce qui rendrait les opérations fort longues. Si l'on se propose , par exemple , de calculer les fonctions elliptiques E et F avec dix décimales , et pour des amplitudes croissantes de demi-degré en demi-degré, les différences cTF, cTE devront être calculées avec douze décimales, et elles contiendront le plus souvent dix chiffres significatî&, ce qui exigera l'emploi de Ic^arithmes qui aient au moins dix décimales.

702. On pourra ordinairement obtenir des résultats aussi exacts et avec moins de peine , par le moyen de la fonction Q = a* ^i m^^ ^^^ ^ déterminer les différences secondes ^U. C'est l'objet de la seconde méthode que nous avons à exposer.

U &udra alors faire usage de la formule

et on prendra et assez petit pour que la suite se réduise sensiblement aux deux premiers termes , ce qui aura lieu si le troisième -j- J^^Q^ est partout moindre qu'une demi-unité du dernier ordre de décimales auquel on s'arrête dans le calcul des quantités J^*U.

On voit qu'en attribuant une valeur déterminée à ^, et prenant la quantité Q sur la même ligne, il faudra prendre S'^Q' sur la ligne supérieure

pour former la somme Q -j cT^Q*^; cette somme représentant J^*U^, devra être portée également sur la ligne supérieure qui répond à la variable Ç — et.

La colonne des cT'U étant ainsi formée , il restera à avoir la valeur de ^U correspondante à ^ = o, et c'est ce qu'on obtiendra immédiatement par la première formule. Au moyen de cette valeur et de la colonne des différences secondes , on formera la colonne des différences premières J^U , et de celle-ci on conclura de même par addition, les valeurs successives de U.

703. Cette seconde méthode sera en général d'une pratique plus facile que la première, parce que la fonction Q est beaucoup plus petite que P et n'a pas besoin d'être déterminée avec un aussi grand nombre de chif-