CHAPITRE m. 5g

A désignant l'ordre de l'intégrale proposée U = f^ud^^.

71a. U serait à désirer qu'on pût calculer par des procédés semblables €t avec des suites aussi convergentes, les valeurs successives d'une fonction

U donnée par une équation différentielle du premier ordre -tt =

fonct. (Uy ^), ou même par une équation différentielle d'un ordre plus âevé. Ce problème est de la même nature que ceux qjiii concernent les intégrales simples ou multiples ; mais sa résolution offre beaucoup plus de difficultés, et jusqu'à présent nous ne voyons d'autre moyen d'y parvenir que la formule de Taylor

qui sert li calculer la différence finie d'une fonction par le moyen des coefficiens différentiels successifs de cette fonction.

Si l'équation est du premier ordre , le premier coefficient -nr* sera donné

en fonction de U et de 9, et les suivans -^) ^9 etc., s'en déduiront par

la différentiation. On pourra donc, d'une valeur donnée de U correspondante à 9 = e , déduire la valeur suivante U' =: U -f~ ^U , correspondante à ^ = e *)- A, et ainsi successivement. 71 3. Si l'équation est différentielle du second ordre , alors faisant. ...

^ s= li, le coefficient ^-j^ sera une fonction donnée de i^ et de ^ ; on en dé-

diura par la différentiation les valeurs des coefficiens suivans nn^, ^j> , etc. ,

exprimées semblablement en fonctions de u et de 9.

Connaissant donc les premières valeurs de U et de u qui répondent par exemple à 9 = e , on trouvera les valeurs suivantes de 13 et de 11 qui répondent à ^ = e -f~ ^ 9 siu moyen des formules

dM . «5 <PV

J^U = «« + -. -cr + -5 . :32r + etc. ,

du __*.-j^v-r- • -^ ■»■ î3 • ^ "*■ "*^* '

d'où Ton déduira U' = U + ^U , u' = u -f" <^u- Par ces nouvdles valeurs de U et de u qui répondent à ^ = e + '; on trouvera semblablement les valeurs suivantes (jui répondent à^ =b e -f^ 3« , et ainai snccessivemenfr

6o CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

jusqu'à la fin de la Table. Mais ces calculs qu'on doit faire ainsi pas à pas pour que le résultat en soit plus exact , sont très longs et très difficultueux.

Il serait d'autant plus utile de perfectionner ces méthodes en rendant les suites plus convei^ntes, que la réduction en Tables est la seule ressource qui reste pour évaluer les fonctions déterminées par des équations diSerentielles qu'on ne peut int^er exactement; et peut-être n^ a-t-U pas d'autre moyen de résoudre les grandes difficultés que présente la théorie des perturbations. des planètes , lorsque le développement en série ne peut pas avoir lieu , ou lorsqu'il offrirait un trop grand nombre de termes qui ne pourraient être négligés.

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