CHAPITRE IV. 6i

est négligeable; or, c'est ce qui a lieu dans le cas présent^ et ce qui aura toujours lieu à Fégard de la fonction E , à moins que les quantités c et sin ^ ne soient toutes deux très rapprochées de l'unité.

71 5. Pour calculer les valeurs successives de Q, soit £ = ^ c'a*, et soit A un angle déterminé par la valeur sin A = £; sin ^ , on aura A = cos A , et en omettant le signe de Q,

• ^ C sin a^

dans l'exemple proposé , on aura ff = ;J a' = (—) , et

logff = 5.27963 474^'

Nous nous proposons de calculer jusqu'à douze décimales les valeurs de E; alors les quantités Q auront huit chiffres significatifs au plus, de sorte qu'elles pourront être calculées par les Tables de logarithmes à dix décimales, qu'on réduira à huit, et même quelquefois par les Tables à sept décimales seulement. L'opération principale, pour avoir logQ, est de déduire log cos A de la valeur connue de log sin A ; il suflira le plus souvent , pour cet objet , de tenir compte des premières différences données par les Tables, dans l'hypothèse de huit décimales seulement. Soit A la différence qui répond à /sin a, et B la différence qui répond à /cos a, a étant l'angle de la Table , immédiatement plus petit que A ; si l'on fait

/sin A =1 /sin a + r , on aura /cos A = /cos a — ■^.

Cette formule sera suffisante presque dans tous les cas, et le calcul n'en sera pas bien compliqué , parce que les différences B et A , ainsi que r , peuvent être prises en bornant les logarithmes à huit décimales.

Cependant si on voulait calculer / cos A de manière que le résultat fût exact jusqu'à la dixième ou la douzième décimale , voici le moyen qu'on pourrait employer.

Soit a l'angle de la Table qui approche le plus de l'angle A, et supposons qu'on ait à la fois

/ sin A = / sin a db r, / cos A =s / cos a =p Rj

il s'agit de trouver la différence R par le moyen de la différence donnée r-y. pour cela on aura la formule

ou

logRslog (r tang* a) db (r + r tang* a).

716. Les règles précédentes pour calcufer log Q, a'appliquent à toutes

les valeurs de 9 dans l'exemple proposé, parce qu'on aura toujours

tang a < I ; mais si c et sin p étaient tous deux très procbes de Fnnité, tangn pourrait devenir très grand, et il fiiudrait employer un autre moyen pour calculer la valeur de A qui fiiit connaître celle de l'auxiliaire Q.

Alors A devra être mis sous la forme A = t/(i' + ^' cos' ^) , et si on prend /jl tel qu'on ait

m tang^ss ^^^:= tang0 cos 9, il en résultera A s= , et de la Q :is > sin a^ cosm, en faisant

y = ^r~9 ^^^^ l'exemple proposé, on aura

log> = 5.43oi4 97464.

Il s'agit donc , pour avoir Q, de déduire Jog cos /x de la valeur connue de log tang /ea; c'est ce qu'on peut (aire, comme ci-dessus^ avec une exactitude presque toujours suffisante, par le moyen des différences premières qm répondent à log cos fc et log tang fi. Si on veut obtenir une plus grande précision, soit a l'angle de la Table le plus approché de f^j si l'on &it à la fois

l tang /Ei = / tang ndbr, /cos/Ei = Zco8a=f=R, on déduira la différence R de la différence connue r, par la formule

R ^ r sin'a ( i =b Mr cos* a),

ou

logR =1(^ (rsin*a)d=r=f=rsin* a.

Cette manière de calculer / cos fi qui fait connaître A et Q , n'est sujette à aucune exception ; elle peut être employée dans toute l'étendue des Ta^- Mes qu'on veut construire , quels que soient les angles 0 et ^ ; en efièt, on voit que l'angle /ti qui est 6 lorsque 9 =: o , diminue continuellement à mesure que (p augmente, et finit par être nul lorsque Ç =3 go"".

717. Par la formule Q = > sin 29 cos /t, on voit que l'auxiliaire Q est nulle aux deux limites de la Table , savoir , lorsque 9 = o et lorsque 9 ss 90* ; il y a donc entre oes deux points une valeur de Q qui est un maxi-

mum ; ce nuucimum se détermine par l'équation tang 9 =s i/— 7 = \/\

( c'est le point remarquable où l'on a F^ s= ^ F* ) ; alors Q = ^—ttî • Dan* le cas de 0 = 4^"* que nous avons pris pour exemple , on trouve le maxi-