CHAPITRE VI

qni répond à toute fonction F (8, (p)^ exprimée par —F* (8), /tétant un

nombre entier.

Cela posé, soient donnés la fonction F et l'angle /jl du module auquel elle appartient; il faudra préalablement, d'après cet angle, calculer la fonction complète F' (fi); alors connaissant F, on connaîtra le nombre n+ar (com-

posé de l'entier i» et de la fraction x ) , tel qu'on ait F =; F>.

Soit maintenant f6 = 6 -4-^, € étant un nombre entier de demi-degrés, et^ étant <^ i. Dans la Table où 8 = €, on prendra par interpolation l'amplitude f qui répond à /i-f-or; on prendra de même, par interpolation, les amplitudes ^', ^", <p'"y etc., qui répondent à n-f-ar,dans les Tables qui ontpour angle du module f -f-i , €+2^ f+3, etc.; cela posé, l'amplitude qui répond à la fonction donnée F dont l'angle du module est fi, sera exprimée par la valeur

L'opération inverse se ferait d'une manière semblable, mais il est superflu de s'en occuper ici.

787. Il faut faire voir maintenant comment on pourra former une Table analogue pour les fonctions E : cette Table est d'une exécution moins facile; cependant il se présente «icore, pour la construire, des formules assez élégantes et qui méritent d'être remarquées.

Soient, comme ci*dessus, ^**, Çy <(>' trois amplitudes successives telles qu'on ait F((p*^) + F(a)=F((p), F ((p) + F(a) = F ((?'), on aura, suivant l'art. 34 9 les deux équations

E (^•) 4- E (<t) — E ((p ) = c*sin a sin ^* sin ^, £ (^ ) + E (a) — E ((p') = c^sin a .sin f sin ç';

d'où l'on tire

E (ç') — 2E (^) + E ((p*) = — c* sin « sin (p ( sin (p' —sin (p*), ou, ce qui revient au même,

<r*E (^•) = — c* sin a sin ^ ( sin f ' — sin ç*).

Mais on a sm (ù' — sin ^®= asin ^ — ^ cos ^ ^^ ; d'ailleurs ■ ^ ^ = - ^ sscTip — icTT, et 2-±^ = ^ + i «T^r; donc .

J^'E C^*) = — ac* sin « co8(^ H- i <rT) »in ( «T^ — t «^T) »«» *>

86 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPllQUES,

ou en faisant comme ci-dessus ^ J^*^* = — «,

J^'E (^•) = — 2C* sin ùL CCS (^ — ») sin (J"^ + û)) sin ^.

J'observe maintenant qu^on a asin^cos(^ — û))=sin (2^ — ») + sin »; mais sin« = A:sln(2^ — ûï)j donc 2siu^cos(^ — û))=(i+A)5in(2Ç — «);

donc

cT^E ((p*) = — c* (i + Ar) sin a sin (2^ — «) sin (cTç +«),

ou enfin

cT^E (^®) = — 2c v/A:.sin (2^ — ») sin (cT^ + «).

Cette formule est rigoureuse, et elle est réduite à un état de simplicité qui la rend très propre au calcul logarithmique.

738. Ainsi en même tems qu'on calculera pour la Table des fonctions F^ la quantité û) qui donne cT*^*, et ensuite J^^, par la valeur J^ip=J)p®-|- J"*^*» on aura tous les élémens nécessaires pour calculer J^*Ef ** : on formera donc par cette seule formule, la colonne entière des différences secondes de la fonction E.

On voit que la différence seconde «T'E^* s'évanouit aux deux limites de la Table, lorsque 9 = 0, et lorsque 9=90*; son maximum répond à une amplitude toujours plus petite que 45®.

D'un autre côté, la fonction Eci est facile à déduire des mêmes élémens qui servent à déterminer et de manière qu'on ait Fa = ~ F* , et cette fonction Ea est eu même temps la valeur de «TEo , puisque Eo = o , et qu'ainsi la différence Ea — Eo ou cTEo = Ect. Puis donc qu'on connaît le premier terme de la colonne des différences premières, et tous les termes de la colonne des différences secondes, on pourra immédiatement former la colonne entière des différences premières, et ensuite celle des foiictions E^, dont le dernier terme devra être égal à la fonction complète E'.

739. La méthode que nous venons d'expliquer pour former la Table des fonctions E est d'une simplicité qui ne laisse rien à désirer. Et quand on considère aussi combien est facile la construction de la Table des fonctions F, puisqu'elle ne dépend que d'une seule formule trigonométriquc rigoureusement exacte, on serait tenté de croire que cette manière de former des Tables des fonctions F et E, doit être adoptée de préférence à celle que nous avons exposée dans les chapitres précédens. Peut-être que l'exécution dévoilerait encore de nouveaux motifs de préférence; c'est ce que nous laissons à décider à ceux qui voudront entreprendre le long et utile travail de la construction de ces Tables.

Nous devons encore observer qu'il sera facile de vépifier aussi souvent