CHAPITRE Vn

Pour savoir quel est le degré d'approximation de ces valeurs, on développera en série la quantité A , ce qui donne

Asss I — - c^sin*® '-1 c* sin^ ^ — -^-7^ c* sin* O — etc. ,

et en y substituant la valeur

on aura l'expression suivante , exacte aux quantités près de l'ordre c*^, de la résulte f^d(p\ ou

^ — ^~7V3~T5~3l5y~8^5""ïr/""ïB-7'

Désignons cette valeur par E = - sin c^+Q^ nous aurons par le développement du premier terme,

et par conséquent,

Q = -3^^ -r^^'C4-ii^);

on a donc la valeur très approchée,

On trouverait par un calcul semblable.

Ajoutant ces deux formules, on en tire une troisième non moins remarquable, savoir,

E(p + Fç = isinc^ + ^logtang(|9r4-^c<p)— ^(p\

743. La formule (a), réduite à son premier terme - sin c^, donnera sept dédmales exactes si l'on a ^ << 6* j elle en donnerait dix ou plus si on avait

En prepant les deux premiers termes , la formule Ef s== - sin c^ -|- ^g— ^

donnera sept décimales exactes, si on a ^ <C i6'*4> ^ dix décimales ou plus, siFon a ^<6*ia.

T. n. la

L'approximation sera à^ peu près semblable sur la valeur de F^, selon qu'on la borne au premier ou aux deux premiers termes.

Si on tient compte de tous les termes de la formule (a), il n'y aura de négligée dans la valeur de £^, qu'une partie dont le terme le plus grand

est de l'ordre -^— 0^ , et ne pourra iamais excéder ^ — ©*. L'erreur due à

i5oo ^ ' ^ ' oooo ^

ce terme ne sera pas d'une unité décimale du dixième ordre , si on a ^ <C iS"*, et elle ne sera pas d'une imité décimale du septième ordre, si on a f 4^ 3a*4^* ^ même degré d'exactitude n'aura pas lieu dans la formule (Jb) ; et pour avoir sept décimales exactes, il ne faudra guère passer la limite ^ = ao®.

744- Exemple I. Soit c=sin 45* et ^ = io% la Table II donne les valeurs suivantes :

F^ =5 0.17497 63oi9j

il Ëiut les comparer à celles que donnent nos formules; et d'abord pour avoir la valeur de E , on calculera les deux premiers termes de la formule (a) comme il suit :

ctp = 7*4' i5"844i3 ^ == ïg 9-24187 73 6

sinc^ 9.09025 936i5 (p^ 6.20938 68

-sinc^.... 9-24077 43593 (i) 4*'3o20 56

- sin c^ = 0.17409 02140

On voit que les deux premiers termes donnent la valeur de E^ avec huit décimales exactes, l'erreur n'étant que de dix-neuf unités décimales du dixième ordre. Il en sera de même pour la valeur de F^ dont voici le calcul :

45* 4- ^ c(p = 48^32'7" 92206, / tang (45* + ï c^) = 0.05373 434^3-

Ce log-tang. étant un logarithme vulgaire, il faudra le multiplier par M pour le changer en logarithme hyperbolique , comme la formule le suppose. Ainsi en appelant h le nombre précédent, on aura les logarithmes suivans.