CHAPITRE VIII

Méthodes dwerses pour calculer les valeurs approchées des fonctions Fcp, E^^ lorsque t amplitude <p excède la limite supposée dans le Chap. précédent.

75 1. Li ORSQTJE l'angle ^ est trop grand pour qu'on puisse déterminer les fonctions E et F avec une exactitude suflisanle par la méthode du chapitre précédent, on polirra dimmuer progressivement l'angle (p par la bissection des fonctions F, selon les formules données, art. ai.

g6 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

Pour cet effets soient f', 9'', ^"'y etc., les amplitudes qui résultent des bissections continuelles de la fonction F^ , en sorte qu'on ait

F<p' = iF<p, F^'' = iF^', F(p'*=iF^", etc., on aura en même temps ,

^E^' — E^ = o* sin* ^' sin f , aE^"— E^'= o* sin' ^" sin ^' , !iE^'"— E^"= o-sin»^'''8in<p",

et l'amplitude ^' se déduira de ^ par les formules

csm^ssmci, smf= — r^;

on déduira semblablement ^'' de 9', ^'^ de^'', etc.

En formant ainsi la suite décroissante ^\ ^"^ ^'"^ etc., on parviendra bientôt à un terme ^*^ i5*, et alors on déterminera aisément , par les formules du chapitre précédent, les valeurs des fonctions E^', F^', approchées jusqu'à huit décimales on plus, desquelles pu déduira les valeurs de E^ et F^ , exprimées arec un degré peu différent d'approximation. Ces calculs ont l'avantage de ne point supposer connues les fonctions complètes j ils peuvent même servir à déterminer ces fonctions , puisque si on

part de l'amplitude ^ donnée par l'équation tang ^ =: --;?, on aura

F^ = i F», E^ = ^ E» +i ( I — *); d'où il suit qu'ayant déterminé F^ et E^, on connaîtra les fonctions complètes F', E\

752. Une seconde méthode qui pourra dans certains cas être préférable à la méthode de bissection , consiste k calculer les ampUtudes 9^, f 3 , ^4, etc., qui répondent aux fonctions multiples F^» == 2F9 , F^3 = 3F^, F^4 == 4F^ , etc. On les détermine par les formules

tang i ^, = A tang ^ , tang (^ (Pj + ï ^) = A tang^,, tang(i^4+i(p,) = A tangos, etc.,

dans lesquelles A est une quantité constante, telle qu'en faisant c sin f sssinâ», on a A c= cos o^.

Au moyen de ces formules, on prolongera la suite ^, 9^, ^39 etc., jusqu'à un terme 9, =s aA:.-^^d: •s|/, qui approche d'un multiple pair de ^ ^,