I :sin2ii

iy après cette valeur de l sin (2^''—^'), on trouve, en suivant toujours les mêmes procédés,

On a ensuite pour déterminer ^'" l'équation sin (2^'" — 9")=^" sin ^"; mais, à cause de la petitesse de l'angle ^" — ç'"=ea'"^ il est préférable de déterminer ^'" par l'équation tang (ip" — ^"'j=i''' tang^'", ou simplement ^" — ç'"—R!'b'" tang ^"'. Pour cela, on substituera d'abord dans le second membre la valeur approchée ^'"= 58^6' 10", ce qui donnera û)'''=i",2I78, et ^'"= 58*6' 1 2'',4466- -A.U moyen de cette seconde valeur, qui a toute l'exactitude nécessaire pour les tables à dix décimales, on trouvera plus exactement (p"— (p'^s^R"*'" tang <p'" = i",2 1787 8424. Enfin la différence (p'"— ^«'-=r«*' se déduira de Féquation a"=R"A'^ tang ^»% ou simplement û)*^=«^ i i'"; caron peutsupposer dans le second membre tang ^*^= tang ^'^, et i'^=^ (b"y. Voici ces derniers calculs d'où l'on déduit la valeur de ^'^:

tang (p"'. 9,89442 55ii2 5 û>'"= i ,21787 8424

Ly\... 4,27469 33 (?''= 38.6.12,44658 27586.

^ CHAPITRE IX. ii3

On peut considérer ^'^ comme étant la limite des angles décroissans Vf 9^ 9^^ 6^c.; ainsi on aura

H = log tang (45*» + i (p'^) = / tang (64^3'6'',223!i9 1 379).

Pour calculer ce log - tangente , on fera a = 64®o5 = 64®3', K'xss 6'',aa339 1379; et appliquant les formules

/> = -: , /tang (a+*)= /tanga + 2m/7[i — />co8 2a+^/)'(i+coé'aa)],

on trouvera H= o^Siadi 4^84^ 60706. Enfin la formule F9=RMH donnera les résultats suivans :

IF^= 9,91957 86i52 1370 F^= 0,85095 71234 6716.

767. Tenons maintenant au calcul de la formule E^=L'F^H* Pc sin ^ ; la première partie se trouvera au moyen des formules qui déterminent L', comme il suit ;

^3oo52 53393 63io LT^s 0.19976 77321 6029,

La seconde partie Pc sin ^ = 2 ^c sin ^'.P' — c sin ^ , et pour avoir P', il faut connaître r^' = c^' cosû»' et r^" ^^c"' cos a'''; or, d'après les valeurs déjà connues

cJ' = (p' — (p" = 887^68037 024

on trouve les résultats suivans :

iTcosûi'''. . . 0.00000 40217 70478 cos»'"... — 7570 i:c'' 65398 47146 </" — laSio

ilt^' o.ooooi o56i6 17624 f^" — 19880

t =s o.ooooi o56i6 57384- Par le moyen de cette valeur de < = — log {t^r"'^) , on trouve aisément le terme Z = 2 v/c sin ^' • P', ensuite on aura c sin ^ ss ^ cos 3® + x sin 3*, d'où Ton conclura la valeur de E^, comme il suit :

T. II. i5

ii4 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

2^c..é. o.a3656 67^4? 35736 Z ^ i.oGgSx 27381 36a5

sin^'.... 9*79971 99^68 90090 csin^ = o. 52348 27454 9876

M/' — 2 5685o Pc?sîn^= o .54432 99926 3729

Les calculs de ces deux exemples ont été fort longs, malgré la simplicité des formules, parce qu'on a voulu obtenir des résultats exacts jusqu'à la quatorzième décimale ; mais ils s'abrégeraient beaucoup si l'on se bornait, comme il convient presque toujours, a dix ou à un moindre nombre de décimales.

768. L'addition que nous venons de faire au chap. XXI du traité pré* cèdent, nous donne l'occasion de placer ici une conséquence assez remarquable qu'on peut tirer de la formule (i'), chap. XXIII.

Si l'on fait dans cette formule 9 = fi, on aura n' z=zn\ ainsi les deux fonctions n(/ï, c, fi) , n(ii, 3, fi) , dont les modules sont complémens l'un de l'autre et qui ont d'ailleurs le même paramètre et la même amplitude, pourront s'exprimer l'une par l'autre au moyen de l'équation

sin

__fl* + tangG[A(i,fl)F(c,fl) + A(c,6;F(*,fl) B >

- i+F(c, fl)F(A, 6)— F(c, fl) E(A,G) — F(i, ô) E(c, 0) ]'

Cette équation fait partie de la propriété mentionnée dans l'art, iio. Mais si on a c = i , c'est-à-dire si le module c =: sin 45'', alors en omettant la désignation du module c et de l'amplitude 6 , commune à tous les termes n(/i, c^ 6), a(c, fi), F(c, 6), £(c, 6), on aura la formule

slïT^ n(»)=f*+(aAtangflH-F-aE)F,

d'où l'on voit que dans ce cas particulier la fonction de troisième espèce n(/i) ou n(7i, c, 6), où l'ona ii=:cot*0, s'exprime par les fonctions de première et de seconde espèce F et E. .

Ce résultat est d'autant plus remarquable que l'amplitude 6, qui détermine le paramètre cot'fi, peut être prise à volonté et ne suppose point que F(c, 6) soit commensurable avecF'c. Si cette commensurabilité avait lieu, on sait par les propriétés connues que la fonction de troisième espèce