CHAPITRE X
Modification de la méthode trigonométrique du Chapitre VI
769. JL A méthode que nous allons exposer n'est autre chose que celle du Chapitre VI, modifiée de manière qu'elle n'exige pas un travail préliminaire trop considérable , au moins lorsqu'on ne veut pas pousser l'approximation au delà d'un certain degré.
Supposons d'abord que l'on calcule par la méthode générale l'amplitude a ou et, , qui satisfait à l'équation Fâ(= 7^ F'c (nous prenons pour exemple la fraction -p^, mais une autre fraction telle que ^ ou f^, pourrait être plus convenable dans certains cas , comme nous le verrons ci-après); au moyen de cette amplitude on déterminera successivement ceUes qui satisfont aux fonctions multiples Fâ(«=2Fâ(, Fa3=3Fa, etc. On calculera en même temps les valeurs correspondantes de E , et du tout on formera un petit tableau de dix lignes seulement, contenant les valeurs de ^ et de £9, auquel on pourra joindre , pour la facilité des applications , les valeurs logarithmiques correspondantes de sin ^, tang (p, A^. Voyez un tableau de cette sorte, art. 777.
ii6 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,
Cela posé, ^ ayant une valeur donnée quelconque, il s'agira de trouver, par le moyen de cette table , les valeurs des fonctions F^ , E^.
770. Supposons que la valeur de ^ soit plus grande que ai , elle sera comprise entre deux termes consécutifs de la première colonne ; soit a le terme le plus proche ou au moins celui pour lequel la différence F^— Fa, positive ou négative, est la plus petite^ et soit p=:a^Xya: ayant le même signe que F^ — Fa; si l'on fait en même tempsF (a+x)=Fa+Fy, Tamplitude^ se déterminera trigonométriquement par les équations suivantes:
csin asssin ff , tang 4'= cos € tang (a + x),7'=4''— 4^c sin (et +x)=sin f ', tang %[/ = cos S' tang a.
On voit qu'il faudra d'abord calculer les angles auxiliaires ff, ^, ensuite les angles %[/' et 4» ^onl la différence est l'angle cherché 7*.
Connaissant^ qui sera en général du même ordre que ^, et peu supérieur kx{ excepté dans le seul cas où c et sin ^ seront tous les deux peu différens de l'unité), on pourra déterminer Fjr etEjr par les formules qui conviennent aux petites amplitudes, et on en déduira les fonctions cherchées
F(p = Fa 4- F^,
E^ = Ea + E;^ — c* sin a sin ^ sin^.
Cette sorte d'interpolation n'exigera en général qu'un calcul assez facile et fondé, comme on voit, sur des formules trigonométriques très simples.
Si X est négatif, j* le sera aussi; mais d'ailleurs le calcul sera toujours le même. Au reste la faculté qu'on a, suivant les différens cas, de prendre x positif ou négatif, permettra toujours de supposer ¥jr<CiTAi c'est ce qui aura lieu encore, lorsque ^ sera moindre que tf , mais tel cependant qu'où ait
tement sin r= 1 1 > » ^* Par les auxiliaires C et €\ on a Aa=cosC, A(a-f*x)=cosf% ainsi l'angle û», troisième auxiliaire, se ti'ouverait par l'é-
. • • Sin X • •! • * 1
quation sm â)=: — /i/y . .gx TTp — tf\ ; mais il sera presque toujours plus
simple de se servir des formules précédentes, quoiqu'elles déterminent l'angle^ par la différence de deux angles beaucoup plus grands '^^ et >(/.
771 . rtous avons donné dans le Chapitre YII des formules pour calculer les fonctions F^ , E^ , lorsque l'amplitude ^ ne passe pas une certaine limite;
