CHAPITRE I. I i

sont ce que l'analyse paraît offrir de plus simple pour calculer jusqu'à la quatorzième décimale, les Ic^ritbmes des quatre fcfnciions F'o, E'^?, F'&, E'&, dans le premier cas de l'art. 645 , c'est-^à-dire lorsque le module c est compris entre sin 45'' et sin 26* 34'- *

654* Ces formules se -simplifieront encore lorsqu'on voudra obtenir une moins graode approximation , ou lorsque c sera plus petit que sin 26* 54% parce qu'alors il y aurait moins de termes à calculer dans la série des modules.

Ainsi depuis c = sin 26* 34' jusqu'à c = sin S"" 1 1', ou depuis c = 0.44? jusqu'à €J = o . o558 , on pourra faire b^^ =z= i , et prendre (f^^ pour le dernier terme de la suite des modules, ce qui donnera

A = iCR-PH6-')'(i-^.

Ces formules conviennent au second cas de l'art. 645.

655. Le troisième cas à considérer est celui où c est compris entre sin 3^ II' et sin 2' 40", c'est-à-dire entre o.o558 et 0.000776. Alors on pourra fiiire 6*** == I , et prendre c®** pour le dernier terme de la série des modules j on aura donc pour déterminer F'c et E'c, les formules

V/(Ç), P-=i^R, E«c = |iO-ic-c-o).

Dans la dernière, le facteur i — \ c^^c^ qu'on peut représenter par (i**)*, ne peut produire au plus que deux imités dans le quatorzième ordre de décimales , car la limite supérieure de c est déterminée par la condition que log b^ n'est que d'une demi-unité de cet ordre. Ainsi , peu après cette

limite, on pourra négliger tout-à*fait ce facteur, et faire E'c = ^=.

Dans le même cas, les fonctions F'&, E'£ se calculent par les formules

et on remarquera que le facteur i -— \y^ ne peut donner au plus qu'une imité décimale du onzième ordre : ainsi il devra être négligé si on se borne à dix décimales; alors on aurait simplement E' A 5= = (i -f-T^K.'F'i).

la CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

656. Ces formules sont déjà réduites à un tel degré de simplicité ^ qu'il serait presque inutile de fiûre mention des deux derniers cas de l'article 645 ; Fun où Ton peut faire ô^sssi, K = -iT,A = x^4 = '

+ 7 / 4 ; l'autre où l'on peut faire ^ :s i , K = i , hss log-.

Il ne reste plus qu'à faire voir dans quelques exemples, l'application des formules précédentes; nous commencerons par le cas où il faut ap-* porter le plus de précision dans les calculs, mais qui offre plusieurs moyens de vérification ; et pour mieux juger de l'exactitude des formules , nous ne négligerons les décimales qu'au-delà du quinzième ordre.

EXEMPLE I. <? = sin45*.

557. On aura c° =: tang* aa* î = ( V^a — i )', i* = 2 i/~ , ce qui donne d'abord les logarithmes suivans y

Cjh... 9.84948 5oo2i 68010 tangas*"!... 9.6172a /^'ii/Sfi Q2\Z']...b^.. . 9.99351 18092 4^113 C* 9.23444 86293 24^74.

Pour trouver les termes suivans c*^ et ^, on calculera par la méthode de l'art. 646 , d'abord p , ensuite les différens termes qui composent P , et que nous désignerons ici par i), 2), 3).

(yc®)*... 7.86683 72673 2o586 m.... 9.63778 43ii3 00

D'après les logarithmes trouvés des trois parties de la valeur de P, le premier terme i ) se trouve par des Tables à dix décimales, 0.00002 4^345 649^5; mais comme on pourrait craindre, dans ce cas, que la quatorzième décimale ne fût pas exacte, et encore moins la quinzième, voici le moyen d'obtenir une plus grande précision .