CHAPITRE XI

F'c... a,5ia59 14107 lôSg coefiP. • . 9,77975 56954 83o2

F^.... 0,39334 5io6i 9961.

801. Pour calculer E^, il Faut d'abord chercher E/i par rinterpolation de la Table n"* 3 ; en appelant de nouveau A le ternie E^ qui répond à n = 8, la valeur cherchée sera donnée par la formule

E|t^=A'— (i— x) (cTAH- î (J^-A-+^ (cf ^A-+ î^

où Ton a

A' = 0,07615 30743 II23 cT^A^^ = + 46 7791

cTA = 843 45096 5968 cT^A'* = + 6 5789

cT'A» = — 94513 9760 cr«A-« = — 463

cT^A** = — II 696 8077 e^'A** =— 5i.

Substituant ces valeurs et celle de x^ on trouvera

Eft = 0,07403 01360 4751 ,

enfin on aura à calculer E^ par la form. £^+E^t=EA-|-c'sin^sinftsin A

^'•••- 9598935 98541 5oi6 EA = 0,98484 i583o 8090 sin^. . 9,98494 57781 0267 Eji* == 0,07405 01360 4751

sinA.. 9,98754 63777 4410 0,91081 i356o 5559

sin^.. 8,86959 87498 65 10 z 0,06775 5o303 7585

z 8,35093 86598 4oo5 E(p ;= 0,97856 43765 0943.

Cette valeur et celle de lF(p s'accordent suffisamment avec celles qu'on a trouvées par la méthode directe , n** 764 et 765.

8o3. Nous avons cru devoir exposer avec beaucoup de détail tout ce qui concerne la construction et l'usage des Tables n* i et n® 3 , relatives au module c=r9În 81°; les calculs ont été faits avec une exactitude scrupuleuse, et soumis à un grand nombre de vérifications, de manière qu'on peut être assuré que les résultats consignés dans ces tables, sont exacts autant qu'ils* peuvent l'être, d'après les Tables trigonométriques à quatorze décimales, dont nous avons fait usage, lesquelles sont quelquefois en erreur de^ne, deux et même trois unités dans le dernier chiffre. On en voit un exemple dans le logarithme de b ou cos 8i'',qui, dans la Trigonom. Brit. , est 9, 19455 3441 3 5701 , et dont les derniers chiffres doivent être 5699. En suivant les mêmes procédés qui ont été indiqués dans la construction de ces Tables, et

1Î8 œNSTRUCTlON DES TABLES ELLIPTIQUES ,

dans les deux applications que nous en avons données, on parviendra donc dans tous les cas à la détermination des fonctions E et F et a la solution des questions qui en dépendent, avec un degré de précision supérieur, non-seulement aux besoins de la pratique, mais à ceux des recherches théoriques les plus déUcates.

Je né dissimulerai pas combien est pénible le calcul d^une table telle que la Table n"" i qui n'a que seize lignes, ou que la Table n* 2 qui n'en a que douze j mais, si on aspire à un aussi grand degré d'exactitude, il semble qu'on n'y peut parvenir que par le secours de ces labiés , ou par la méthode générale fondée sur la formation préliminaire de l'échelle des modules. C'est au calculateur à choisir entre ces deux méthodes, celle qui lui paraîtra la moins pénible.

Comme la formation de l'échelle des modules se réduit, d'après nos formules, à un travail assez court, il est vraisemblable qu'on jugera que la méthode générale mérite la préférence, si l'on n'a à calculer qu'un petit nombre de fonctions E et F; mais s'il y avait lieu de calculer un grand nombre de ces fonctions, l'autre procédé paraît être le plus avantageux.

Au reste, nous avons déjà dit que si on se borne à dix décimales dans' la formation de la Table auxiliaire n"* i , auquel cas on peut se passer de la Table n^ 2 , le calcul de cette table et son usage dans les cas particuliers , deviendront très faciles, et rentreront dans la classe des calculs trigonométriques ordinaires, surtout si le module est plus petit que siu 4^^> ce qui permettra de prendre la valeur de a dans la Table YII; et puisqu'alors les résultats sont exacts jusqu'à la dixième décimale, ou au moins jusqu'à la neuvième, il ne parait pas qu'on puisse proposer rien de plus simple pour le calcul des fonctions E et F, au moins tant qu'il n'existera pas des Tables suffisamment étendues, au moyen desquelles la détermination de ces fonctions serait réduite aux règles ordinaires de l'interpolation.

8o5. Remarquons en finissant que le Tableau n"" i pourrait être réduit aux cinq termes ât,, a«, cl^j âtg, a,s, et que dans cet état, il suffirait encore pour ramener les fonctions proposées E^, F^, au cas où l'amplitude est moindre que 6°. Pareille observation s'applique à plus forte raison aux Tables auxiliaires construites pour des modules moindres que sin 81^.

En effet, i*. si l'amplitude donnée ç est comprise entre otg et 0t,6 , ou 90^, l'une des deux différences F^— Ffltg, F'c-— F^, sera moindre que ^F'cj ainsi , en fiiisant la plus petite des deux différences = F^', on aura (p'<^ ^4- )1 faudra donc d'abord déterminer ç' , soit par l'équation algébrique qui cor-