Soit -T : =5 a et -: : — = b; on aura d'abord les Crois
^ sm «1 fin «3 6inii|8m«3 '
équations
-=1 4-2fl, ou /JL=: — ; ,
j (I -f- 2flj s= 1 — -T-, ou sass . L T j en faisant 7 = iw*, jsssw^sstj, ou mb*:=:k^.
Ces trois équations entre les cinq quantités k^ h^ fi^ a^ b^ dont une seule A: est connue^ ne suffisent pas, mais on en aura une quatrième en éliminant sin^a. et sin'a^ de deux des équations (79). Cette quatrième équation est
I — A* y^ , 2sin*ii, +2sin*flC3 !•/ • • • • »^\
Substituant les valeurs •^==(i+2fl)%--;==A:*( i---^),^î^T^^ — f^T^=«'+aô,
on aura -n = , aA "« ^^^^ ^^ P^^ conséquent,
(afr — 2a — ^*\*,^, « ^ — ^^
Cette dernière équation entre a et £ se réduit finalement à la forme
(80) a^ = 2* (A — I — a) ; d'où résulte
(81) 26=i+a + A, A=v/[(i+2fl)(i+fl»)].
Ainsi l'on voit que dans la quiwtisection de la fonction complète F'A: il y a une équation entre sin a^ et sinc^^ qui est indépendante du module k.
comme dans la trisection il y en a une entte sin a, et sin a. , savoir^ Téqu»lion cos a^ = i -—sin et^y qui est également indépendante de k.
En effet y parmi les formules de la qointisection (art. 23, tomel*'), on trouve les deux suivantes :
tang(45<> + ict,) = S^A(«.),
^n&(î«.+ î«3) = tang «.A(a,) = ^p£k{m^i
d'où résulte , entre ctg et a^ , Téquation
tanga,tang(45* + iaO = ^ang«s*^*ûg(T*t + î*s), ou
2sin a, sin ct»(i — sin et, sin ct^) = (sin ât^ — * sin et J (sin* a^ 4" ^^' ^1) i ce qui s'accorde a?ec l'équation (80).
94. Maintenant I il est fiftcile de voir qu'on aura Tëquation entre les modules £ et A si l'on en trouve une entre les quantités b et m. Pour cela y il suffit d^éliminer a des deux équations déjà trouvées , r . • . .
m = , ^^ —-- y 2a= \i^hn^ * et 1 on obtient léquation
11 restera à substituer, dans cette dernière, les valeurs /7i= i/ x> ^^l/""- Mais, pour que le résultat prenne une forme rationneUe, nou» ferons
A:=M* et ^ = (^j ce qui donnera nisss— et J = — : nous aurons ainsi l'équation cherchée
(tt«. t;*) (M* + 6aV + f^) = 4iip(i — lài^) , ou
(82) tt« (;« + 5ii V (a* — i;*j = 4 w (i — »*P*).
C'est sous cette forme que M* Jacobi a donné l'équation des modules dans le Journal de Grelle , tome III, page 192.
On peut lui donner une autre forme, qui semble plus commode, en l'écrivant ainsi :
puis, déduisant de cette dernière,
76 FOJNCTIOiSS ELUPTIQUES ,
ou, en remettant les valeurs de m et de u,
ra \ A^+/*^V i + it i—h
Cette formule, pour le cas de ^ = 5, a une analogie assez remarquable avec celles qui ont été trouvées n° 85, pour le cas de /? = 3.
95. L'équation (82) étant du sixième degré, par rapport aux deux quantités m et p , on voit qu'il faudra résoudre une équation de ce pour déduire immédiatement le module h du module donné A: , ou , ciproquement , A: de A j mais j'observe qu'en continuant le calcul pour avoir les autres termes de l'échelle, soit dans l'ordre croissant, soit dans l'ordre décroissant, on n'aura jamais qu'une équation du cinquième degré à résoudre pour passer d'un terme au terme suivant. En effet , si de la va<-
leur ii= yk =y on a déduit la valeur ps=y/A = g', et qu'ensuite ,
de la valeur u =s y h = g" on veuille déduire la valeur suivante • • • •
ifz=zyh^ s=: g, , l'équation en i^ sera satisfaite en posant p= ^^/i de sorte qu'en la divisant par (^ +/? ^U^ ^^^ réduite au cinquième degré. Cette propriété résulte de ce que , dans l'équation générale
li* — • f • + Sw*^'* (u* — ff^) — 4"^ (ï "^ ^^) = ^ ? on peut changer à la fois uen i^ et i^ en '^u.
La même réduction aura lieu lorsqu'on voudra prolonger l'échelle dans le sens des modules croissans A:, Ati, A'^, etc.
96. Les formules précédentes donnent le moyen d'exprimer en fonctions de a toutes les quantités constantes qui entrent dans les équations (78).
Nous avons déjà trouvé u= — ; — : la valeur de h se déduira de Pé-
quation A:* = mb^ , qui donne
de sorte que si l'on fait A: = sin 7^ , on aura
cos ay = (a* - « - I ) y/(^^) , ou plus simplement encore
(84) sin* 27 = y:^ Soit a' une seconde auxiliaire tellement liée avec a , qu'on ait
(i -f- 20) (i -f- 2fl^) = 5 , ou a' = — j- — , on aura sin' Ty = a^a'.
Supposant k connu par le moyen de a , on aurait le module suivant h par la formule As=A:)Dt(i— r-)j et parce que |=: ——~j on aura
^ = ? ( — T+Ta — ; = ? L^" V vr+^)J •
De là résulte
(85) *,=i^iii;^Y(T^>
de sorte que si Ton fidt AscoscT, on aura cosacTs-r- 3;; — V\/\ 4» ^ y> et enfin
(86) sm-2cr=a(î^^y=a«'».
Telles sont les formules très simples par lesquelles les deux modules k et h peuvent se déduire de la seule donnée a.
97. Pour former semblablement l'équation des amplitudes , il faudra déduire des formules précédentes les valeurs des coefficiens, exprimées en fonctions de a et de 6 ; ces valeurs sont :
sm^ilft • sid'«4 r \ * /7
sin* «A sin* «4
A:* (sin* a, + sin' a^ = 20 — ^a-^a^ ^ h^ sin' a, sin' flt^ = i (i — • ia).
Ainsi l'équation des amplitudes sera
k^v; J "^ • T-f. (a«+ aa — 26) jc» + (6*— 2aA) jt^'
C'est sous cette forme que M. Jacobi a présenté l'équation des amplitudes dans le n^ 128 du Journal de M. Schumacher, d' Alloua; sur quoi il faut observer que les lettres a et f de M. Jacobi désignent la même chose que les lettres a et — 6 de la formule précédente. Il est probable que M. Jacobi , dans le commencement de ses recherches , était parvenu à cette formule par la méthode des coefliciens indéterminés , en faisant. • .
jr = "^ ^ — j-^ , et déterminant les coefficieus de manière que cette
78 FONCTIONS ELLIFHQUES,
valeur satisfît à Féquation difiërentielle -77 — ,, ., — rr:Tr=^I^T7} — stttt — fiTTZ*
Mais l'expression que donne la formule générale du même auteur, où il n'entre que les données A: et o^, est beaucoup plus élégante, et nous n'avons cité l'équation (87) que parce qu'elle a une analogie très remarquable avec celle que nous déduirons ci-après du théorème II.
98. Revenons aux équations sin*27=aV, sin*2^=^^, qui supposent A: = sin y , A = sin cT et (1 -f- 20) (i + ao') = 5 ; elles offrent un moyen très simple de suppléer a l'équation des modules, ou même de la reproduire sous une autre ferme : car, d Ton fait siu^y = 2kk :ssi jCy sin acT ^ 2hh! =^, les équations x* = a*a', jr* = aa'^ donneront
S —, a'" =3 —, et Péquation des modules sera
(««) L'+<yfX'+<^">''
équation d'une forme très différente de celles que nous avons trouvées n*" 95 , et dont la solution ne devient plus facile qu'au moyen de l'auxiliaire a.
Il est essentiel de remarquer qu'aussitôt que a est déterminé par la résolution de l'équation du sixième degré, que nous avons rapportée, toutes les quantités /i^ A, sin £t, , sin a., etc., deviennent connues, de sorte qu'il . ne reste rien à désirer pour l'application des formules du théorème I*' , par lesquelles la fonction donnée F (A: , Çl) est transformée en une autre d'un module plus petit h.
La méthode générale conduit aux mêmes résultats par le calcul préalable des quantités ce. , ce» , «tj , £t^ , qui servent à déterminer tous les coeflSlciens ; mais le degré de l'équation à résoudre pour déterminer £t, , qui est
fixé à ou 1 2 dans le cas de ;? = 5 , paraît susceptible de réduction : il faut , en eflS?t , qu'on puisse éviter la résolution de cette équation du douzième degré, puisque toute la difficulté est réduite à l'équation en a, qui n'est que du sixième degré.
99. Il reste maintenant à fistire voir comment l'opération doit être continuée, par ces nouvelles formules, pour prolonger à volonté l'échelle décroissante kyh^h^yh^y etc. 9 et obtenir les transformations correspondantes de la fonction F (A, ^).
Pour cela , appelons x et x' les quantités qui , pour le module h , sont analogues aux quantités a et a' pour le module k , puisque
A =: sin cT , fii nous faisons sin* 2^" = {ihhiy = C , nous aurons à résoudre Téquation
Q — tSiUJÙ,
Or , si l'on obeerve que dans la solution précédente on avait G = ad^'ss.
a!^ T— - — ; j , on en conclura que cette équation serait satisfaite en faisant
x^=zd'^ de sorte qu'en la dégageant du facteur x^^a'y elle se réduira à l'équation du cinquième degré
(89) ^* = (2 — ci) (x^ + a!x^+ a'^af^^ a'^x + ;^p^)-
Cette équation n'a qu'une racine positive entre 2 et 2 —a'; ainsi, il ne faudra que quelques essais pour trouver la valeur dts x^ au moyen de laquelle on aura sin' 2<r, = oro?'^ et A| = sin<r.. Les mêmes opérations devront être répétées pour trouver les autres termes de l'échelle, et chacune d'elles n'exigera que la résolution d'une équation du cinquième degré , semblable à l'équation (89). On est ainsi dispensé de calculer, pour les modules successifs h^h^^h^j etc., les quantités analogues à a,, «t., etc., lesquelles semblent dépendre d'équations d'un degré au-desstis du cinquième.
Par de semblables procédés^ on pourra prolonger à T^nté l'échelle des modules dans l'ordre croissant , et il n'y aura jamais qu'une équation du cinquième degré à résoudre pour passer d'un terme au terme suivant.
Too. Soit, par exemple, a^ss^^ et par suite ^^=1, on aura
sin*2> = — Q et sin*2cr= — ,0;
d'où l'on tire les valeurs numériques
2> = 171^11^ 37",6o967 aj^ = 20^ 8' 55",69742
Arssinj^... 9*99871 63223 AssincT. ...9.24285 6525o.
Pour trouver le module A:., il faut résoudre l'équation 'xx'^ = —g , qui
peut être abaissée au dnquième degré en la divisant par V — -; mais comme cette équation est d'une forme très simple^ il n'y a guère d'avantage à Ëiire cette réduction, et si l'on Ëiit immédiatement afs:=> 2(1 — où) ^ cù étant un nombre très petit, on aura à résoudre l'équation. . «
g^ , (i — »)* = -^. Voici le résultat du calcul :
et
