m, sin* fl^, = pg-^-7x
sin 2yi sin 2yi
L'angle y^ , déduit de sin 2^^ , a deux valeurs , dont l'une est complément de l'autre j et comme on sait que y^ doit être très près de 90*, on aura
de là les logarithmes de A: et A:'. , comme il suit :
kl o. 00000 00000
loi. Pour donner encore un exemple de nos formules, soit A: = siQ 45% on aura sin 27 = i , et l'équation à résoudre pour trouver a sera • • •
••-— 20* -f- 2a -f- 1 ^ o. Divisant cette équation
par a* + i, on aura 0^-^20^ — a'+2a-|- i =0, ou (a*-— a— i)*:^o j on a donc a*— a— -iso, résultat qu'on trouverait immédiatement par la valeur de 2/:*— i, donnée n® 96. On a donc a=^+j^/5= 2 sin 54%
,cra^=i'—t , ou ar
ensuite, a on trouve
-5 , sin* 2 J^ = aaf^ = ^ et sin 2<r = — . Par cette valeur ,
logsincT;
logcosj^:
cT = o°5'2o'',29o5702 : log A = 7 . 191 1 1 88449 27 :logA'= 9*99999 947^4 10.
L'échelle dont nous venons de nous occuper est l'une des deux qui composent l'échelle unique dont l'indice est \/5. Pour former l'autre échelle, soient k et /^ les deux termes, moyens qui doivent être complémens l'un de l'autre; et puisque nous avons fait A:=sin ^ et As sin J^, il faudra qu'on ait 7 + cT = 90* et sin 2y = sin 2^". Ainsi , on devra avoir pour ce cas particulier a*a'= aa'^ ou a=iafy et l'équation. .».•.. (i +2a)(iH-2a')=:5 donnera a = fl^=i(v/5 — i)==2sini8*. Il en résulte
PREMIER SUPPLÉMENT. 8i
sin*27/:=a*, sina7:=a'=(2sin i8*')*=v/5— 2, cos 2y=zdb 2 {/{{/ 5 — 2), sm> =i+/(v/5 — 2), sin*cr = i — v/(v/5— 2).
Telles sont les valeurs de /^ et A*, ou , si Ton veut exprimer les modules par les angles dont ils sont les sinus , on aura
k = sm83**io'2i'',747455, A:^=: sin 6 .49 -38, 262545.
Nous connaissons ainsi les cinq termes moyens de l'échelle dont l'indice est V/5 ; ces cinq termes sont A', A:, sin 45°, A/, h,
102. Appliquons maintenant au cas de pz=z5 les formules du théorème II. Si l'on détermine l'amplitude €^ de manière qu'elle satisfasse k
l'équation F (A', ^.) =~ F*A' = ? H', on aura , en disant sin %[/ = j^ et
sin û» = 2 , les équations
y I +y cot * g^ I + j^* cot' g>
^ ï7'i + yco?^*i+yoot»ffj'
(90) ( /, -.Ni/, ^Ni ' "^i^. ' ii^"^
,y*cos*C| ^*co$*ffs
(,-/fzf=(,-;ir)* .^^4^ . ^^-^.
^ / \ ^ y I -^. j,a cet* ff, i+y*cot*^3
Ensuite , on aura les quatre équations suivantes, extraites des équations (49) entre les constantes du problème,
I 2 2 , I «in* g, sin* C3
fê "" sinC, "^ sin ^3 "• > ^ "^ sin* C^ sin* C. '
feO \ 17-7= i + 2sine, — asin^a,
(j7-->) =1 + 2 sin'ff, + 2 sin* Ç^ '^ ^ sin* ^. — a sin* ff^. De plus, nous savons qu'on a S/if/fz^ i et jx's= g.
io3. Soit -r^- ^3-= a' et T- ^ ' . ^ = *' 5 on aura , entre a'
sinb^ 8inW3 sin Ci sm C3 ^
et i', la même équation que nous avons trouvée ci-dessus entre a et b, savoir ,
(92) tf" ss 2^(4' — I — <ï') ;
d'où résulte
Il serait inutile d'employer les auxiliaires à la recherche de l'équation entre les modules k et h, parce qu'on trouverait le même résultat qu'ont fourni les formules du théorème I*'; mais il est nécessaire de calculer en fonctions deafelV les coefficiens de l'équation des amplitudes.
On a d'abord -7=i+^^?<l'un autre côté, on a - = i»|-aa et SiAfâfzsi i •
donc (1*1*2^) (i 4*^^')=^^* Ainsi l'auxiliaire ^ est la même que nous avons employée dans l'art. 96.
Au moyen des valeurs de a' et b\ on trouve immédiatement
cof S, + cof Qz = «'• 4- ai' — 2 ,
cof g. cof e, = 1 — 2*'+i'* — a^
Il faut ensuite avoir les valeurs semblablement exprimées de cot* C^^ col* C. et de cof C. cot* ^4.
Et d'abord l'équation ft' = , À . , ^ donnera . ,^ . ,^ = /a'*'» ; ensuite, 1 équation ^ = i •+■ 2 sin b, — a sin bs = i — -jr étant combinée avec l'équation \j^ =i+3sin*ff,+ 2sin'ff3 — 2siii*ff. — asin*^^, on en tire successivement
sm' b, + sin* 64= gT; ,
-4r + -4t = A^'(2*'+aa'4' — ^•),
sm' b» ■ sin* b4 '^ ^ ■ ^ ^
cof C.H- cof ^4= At'(2i'+ aa'i' ^* — 2 — 4^') , cof ff, cof ^4= )M,'(i — 2^ + *'•+ a'^^- la'—ia'Vy
io4« Au moyen de ces valeurs, l'équation entre z et ^ sera ainsi exprimée :
On voit qu'elle n'est pas de la même forme que l'équation (87) donnée par le théorème P'; mais il suflit d'un léger changement pour rendre ces équations entièrement semblables. Appelons y la seconde racine de
l'équation a'^ sas ai' (i' — i — a!) y en regardant V comme l'inconnue.
Cette seconde racine V'^ qui est toujours négative, sera donnée par la
formule
ai" = I H- a' — A' ;
de sorte qu'on aura ô'+i"=i + a'. H ne s'agit plus que de substituer dans l'équation précédente la valeur i' = i + a' — i", et l'on aura
équation entièrement semblable à l'équation (87). On voit, en effet, que les coefficiens de la nouvelle équation sont exprimés en a' et V\ comme ceux de l'équation (87) le sont en a et 6; et si l'on voulait exprimer ces coefficiens par la seule donnée a pour le théorème 1% ou par la seule donnée >/ pour le théorème II , il faudrait, dans le premier cas , &ire
*=ri(i+«)H-iV/[(i + 2«)(iH-a»)], et dans le second,
d'où l'on voit que les deux expressions sont des fonctions semblables de a et de a\ avec la seule différeiice que le radical change de signe d'une expression à l'autre.
io5. Yoici, au reste, comment on peut expliquer ce singulier résultat. Quand on passe de l'équation F (A:, ç) = fcF(A, •4/)^à l'équation
F(^> 4) = A*'F(^j ^)> ^^ 4^i s® ^^^^ ^" substituant aux quantités or, jy a les quantités j^, 2, a', respectivement, il faut que les valeurs de A:' et A*, dans la première équation, soient remplacées par les valeurs de A* et ^*, respectivement, dans la seconde. Or, dans la première, on a
M étant mis pour \/\~r — )• Substituant dans celles-ci a! à la place
T ■ i a' I "T" CL *
de a , et observant que M reste le même , parce que , ^ =7V — ' > ^* *^^~ vient - — -. '7'."^"^? - M, et A« devient i — ^ (i +a'— d'«)M. Donc ,
2 2 (l + 2aj* ' 2 2^ -^ ^
en effet, 1^ se changera en A' et A' en A:*, pourvu que M, qui est la même
chose que — r- — se change en —M', qui £st la même chose que — -^ — > ;
donc, avec la condition que A se change en —A', la substitution qui rend
