S= a Sin b, -* I , 777 = — TF
70 FONCTIONS ELUPTIQUES,
d'où l'on déduit les valeurs suivantes , exprimées en fonctions de f(' ,
(68){ ^. = <J±IÙ0^, H"^il±éy^\^e,= L=J^,
cot.e.=<.i=^t*û,c„..e.=<;^.
De ces équations^ comme des équatious (62), on déduit, entre les modules le et h y l'équation
C'est celle que nous avons donnée dans le n^ i85, tome T'; elle s'accorde avec la formule (63), et l'on pourrait aussi lui donner les deux formes
où l'on peut remarquer que la seconde se déduit plus immédiatement de la formule (63).
86. Si dans les valeurs précédentes de A:*, A:'*, //■, A'* on substitue, au
lieu de /i', sa valeur ^ , on retrouvera l'expression de ces mêmes quantités,
déduites du théorème I^, comme cela doit être, puisque la même échelle de modules s'applique aux deux théorèmes.
Au moyen de l'équation 3f6ft'= i', entre les deux régulateurs /x et fif, il est facile de comparer les quantités S^ et f«, données par les équations
sinf, = / , cosS»=--T— >, avec les quantités analogues a,, a,, don<
nées par les équations sin a, = — £- , cos a, i= '~^ . On voit que celles-ci sont exprimées en /i, comme les autres en f^' ; d'un côté, on a fi = ^^"['p^^ , de l'autre , /t'= ~^^ : donc , puisque 3jWjw'= 1 , on a
(i+sinot0(ï+sin^,)=:3, ou cos(45''— ia,)cos(45*— ■^g,) = cos 3o*. On a pareillement f6 = tang4flt., A^'=tang*^Ç.j donc tang | a. tang j. Ç^ =V/i = tang 3o**. De là, on voit que la trisection de la fonction complète F'A: est liée avec celle de la fonction complète ¥'k% de manière que l'une se déduit immédiatement de l'autre.
87. Si l'on substitue les valeurs de sin 5, et sin 5„ en fonctions de ft', dana les équations entre zetjr^ ces équations deviendront
Elles ont, comme on voit, une telle analogie avec les équations entre j^ et X données par le théorème P' , qu'elles se déduisent de celles-ci par le simple changement des quantités^, j:,ft,A:,A,en — a,j^, ^^l^'f ^> ^? respectivement. En même temps, l'équation trigonométrique (65) devient, pour le théorème II,
(7O tangi(û>4-4)= i±^tang4;
ce qu'il est facile de vérifier par l'équation (22).
88. Si l'on rapproche maintenant les résultats des deux théorèmes , on aura les formules suivantes :
par le théorème T',
F(*, <p) = A*F(A, •4'), taiigi(4 -<p)= L=^tang^5 par le théorème II ,
F(;i, 4) = /*'F(A, 0,), tang 2 (a. + 4) = i±?^ tang 4 :
on en déduit FC*, <p) — fJi^f^'F {k , a), ou F(A:, a>) = 3F (A, <p).
C'est l'équation qui sert à la triplication des fonctions , ou à leur division par 3.
On voit que l'amplitude cù de la fonction triple se déduit de l'amplitude (p de la fonction simple par deux opérations, qui consistent à calculer
l'auxiliaire 4 P^r Féquation tang |(4 ■"" ?) = ^ tang (p ; ensuite a>
par l'équation tang i (û> + -^z) == ^ tang 4. Pour réduire le calcul aux
termes les plus simples, soit tang ^^=ix, tang 7 4 ^^J' ^^ tang 7 /«i = z ; on aura les deux équations
d'où résulte , pour la triplication , cette formule
72 FONCTICMSS ELLIPTIQUES,
89. L'opération inverse, qui consiste à trouver <p par le moyen de a>, ou X par le moyen de z, s'exécutera , soit par la résolution des deux équations trigonométriques
tangi(«H-4)=-^taDg4, taug ^ (^ — (p) s= i^tang<p,
soit par la résolution des deux équations du 3"" degré ,
f/y — zr* 4- j^ — /^'z = o ,
Ainsi l'équation (72), qui est du 9* degré lorsqu'il s'agit de déterminer JC par a, peut se résoudre par le moyen de deux équations du 3*.
90. Occupons-nous maintenant de la formule qui sert à la tranforaïation de la fonction de seconde espèce E(ky (p)y il suffira d'appliquer la formule générale du n» 74^ dans laquelle nous substituerons les valeurs de ky h et ordonnées en fonctions de ;t, n^ 82 : et d'abord , comme on a
^ ~ i6^3 "»*• Te;? '
on en tire -^ =-^r- ^ ^ W^3^{Zi;?y i ^onc —£=3—-^. k^k'^ 5-5 ^' ^ \^y ii. De là résulte la formule
Pour avoir la quantité algébrique V, il faut commencer par calculer ~
au moyen de l'équation tang7(4 — ?)= — - tang ^ , qui donne imméclîa*temeni
û^ 1 ta pg^ 4 sî» ^ cos ^
"^ "■ "* i^.* , + (iZIi'Y ta«g» f ~ 4y-(» + ^)(^-0«n^-
On trouvera ensuite, après quelques ïédnctions,
Si l'on fait ^ = ^Tf , ce qui donne •4/ = |7r ^ on aura la fonction complète
91. En opérant par les formules du second tbéocème, on trouverait
semblablement *
E(*, a>) = 3u'E{h, 4)~ ii±^l^!Î=DF(h, 4) + T,
et dans le cas des fonctions complètes , ' (76) m = 3)t*'E' A - (' + ^W-0 F-A ;
ce qui s'accorde avec les formules du n° 180, tome 1". Dans le dernier cas, on aurait pour la transformation inverse,
(77) ^'h=± m + (i±Vm.JzO T'k.
Les résultats généraux que nous venons de trouver s'accordent avec ceux que nous avons donnés dans le chap. XXXI de notre Traité y d'après une formule générale qui est la même que celle du théorème II. ]Xous y sommes parvenu plus facilement par la nouvelle méthode, parce qu'elle est l'appUcation d'une théorie plus générale. Au' reste , nous renvoyons à ce chapitre pour les autres développemens relatifs au calcul des différens termes de l'échelle et des régulateurs correspondans.
§ XII. ^application des mêmes théorèmes au cas de p ~ 5.
92. Soit a. l'amplitude qui satis&it à l'équation V(ky aj) ^=:-gVk y
pour toutes les valeurs m = i ^ 2 , 3 , 4 9 soient sin ^ s^ ^ et sin '^ z=zjr : les formules du théorème V^ seront, pour le cas de /? =s 5 ,
•^ fc * I — itVsin*iia * 1 — itV sin* «4 '
(, -r)-=(' - ^)-.— ï^'-- — zé^-'
^ ^ ^ ^ / i — !?•*• sin*«4 1 — irV sin* «a
ri/,*r*^*— ^**^^^ I— ^Vsin;;-. I— ^^sinUa
On a de plus, entre les constantes du problème, diverses équations , dont il suffira de rapporter les six qui suivent :
74 FONCTIONS ELUPTIQUES ,
i a 2 I sin*«i 8in*«i3
ft sin «I 8in«3 ' sin*«4. sin* «« '
j^ z= 2sin a,— 2 sinaj+i, A= A* sin* a, siîi* «3 ,
tj-; =14-3 sin' a, + 2 sin* «3—3 sin*a»^ 2sin* a^ , fdT sin*iii ' «m* «3 \ » I 4/
Voici l'analyse par laquelle toutes les quantités nécessaires pour la solution du problème peuvent être déterminées en fonctions de Tune d'entre elles.
