II.O

identique l'équation -^—^^L-—-.- ^. ^^^^,^^l,^^^,^^ , rendra identique aussi l'équation ^^(,y)^^(.>iy) =/*^ vC-^'^Vc-^O ' par le clian^^ement de x,^, a cnjr, 2, a', respectivement.

Cette propriété est particulière au nombre 5 pris pour p^ comme une propriété analogue (n* 87) est particulière au nombre 3. D'autres nombres premiers pourront présenter des propriétés semblables ou modiGées, selon le nombre des lettres nécessaires pour exprimer rationnellement tous les coefliciens de l'équation des amplitudes.

106. Une autre propriété non moins remarquable pour le cas de p ^=z 5 est celle qui permet de déduire aisément les auxiliaires Ç^ des auxiliaires «i^, et réciproquement 3 c'est-à-dire que si A: et A sont deux termes consécutif dans l'échelle dont l'indice est 5, la division de la fonction complète F"A: en cinq parties égales étant connue par les quantités «,, ««, etc., on connaîtra immédiatement les quantités 6^,6^, etc. , provenant d'une division semblable de la fonction complète F* A', et réciproquement.

En effet^ nous avons vu, dans le cas de p = 5j que a étant connu, on a immédiatement les valeurs de sin et^ , sin a^ , sin (t^ et sin cù^ ; si l'on donnait ces dernières quantités, ou seulement sin a^ et sin ctj, on en déduirait la valeur de a, savoir, a = -^ : , ensuite celle de a' = ~ ^ . Or, a'

' siD cti • sin ces ' I + 2a >

étant connu, on en tire aussitôt les valeurs de sin S, , sin Sj, sin ^., sin €^^ Ainsi, il y a une liJison intime entre la quintisection de la fonction complète F"A: et celle de la fonction complète F'A'; une semblable liaison n'existe pas entre les divisions relatives aux modules k et h.

107. Pour diviser généralement toute fonction donnée F (A, a>) en cinq parties ^ales, c'est-à-dire pour déterminer (p d'après l'équation F Çk ^ e^J ^ 5F(A:, (p), il faudra faire usage des formules suivantes, données par nos deux théorèmes,

sin* ^ sin' ^

\ 7 T/ r- \ y T/y T ^ , P Sin' ^ SID ■«. I it* Siu' ^ Sin* «^ >

•n/L I \ /r«/i \ • sin%J' I + sin' -^ cot' Ct i + sin'-vl/ cot'C-

\ 7 T/ /" \ 7 /7 ^ 1 4- Sin' 4 col'' C, I + sm' 4 cot' b3

Au moyen du module donné A:, on déterminera a par la résolution de l'é-

qualion du 6* degré, 4**(^ — A*) = a^. — - — ; a étant connu , on

connmtra a', b\ V'^ fjL, /jl' et toutes les quantités exprimées en cl et € dans

les deux équations des amplitudes : on pourra aussi ^ au lieu de ces équations, prendre celles qui sont exprimées, l'une par les données a et b , l'autre par les données a' et b'\ On aura ensuite à résoudre une équation du 5"^ degré pour déduire sin*4/ de sin co, puis une du même degré pour déduire sin^ de «in >[/. D'ailleurs, connaissant la loi d'accroissement des variables ^jr et ^ , ainsi que celles des variables ^ et '>[/ , il n'y aura jamais d'ambiguité dans la détermination de l'angle Ç par son sinus, puisqu'on sait d'avance dans quel quadrant doit se trouver l'angle (p. Ainsi le problème de la quintisection , qui dépend en général d'une équation du 25^ degré , se réduira toujours à la résolution d'une équation du 6"^ degré et de deux du 5*.

io8. Tenons enfin k la transformation de la fonction de seconde espèce E (k , (p). Si l'on veut appliquer la formule générale du u? j5j qui

se rapporte au théorème II, il faudra avoir la valeur de ^ j or, l'équation

, A , donne, par sa différentielle logarithmique ,

kk^^da' a' n—a! T+â? </ (2 — a')(i 4-aa') '

on a d'ailleurs i — :ik^ = — j-j- — tt^— M , en &isant , pour abréger , . . . M=\/^-^r^o <ionc

V i + aa V

kk^ • da' ~ a'ipi—a!) "" aa*'

On trouverait semblablement

AÀ'»'dd'""aa'(i + 2a')*'

de là résulte

hh'^' dk~ {1+ M'y^^f^ '

ce qui s'accorde avec l'équation générale ^flr*=:yr, trouvée n° 73. Maintenant 9 si dans la formule générale

E(A:,«)=;>At'E(A,4)+(^*-;,^'A'.^\|')FfA,4) + V', on fait les substitutions p^=5y -^=si+aa', -7r-dr== — 2A:A:''-^=s— -aoa'M •

^ ^ ft * ^ ft^ dk dk *

d'où résulte

*5 FOSCnOKS ELLIPTIQUES,

on aura enfin la formule cherchée

^n» laquelle il ne reste plus qu'à déterminer la quantité algébrique V. loc^. Pour cela, nous avons la formule

y/ ir*8În(»co8 4i A' sin 4 cos «4. bV* dm

~ V/(i-.if sin'*) 7^ * v/(»— ^■«in*^) 1/(1 — if sin* •) ' 35 *

dans laquelle il faut substituer la valeur de ^. Cette valeur se calculera facilement au moyen de la formule

où l'on suppose tang 4, == jr^j tang 4 , tang 4, = -^^ tang 4. Soit, pour un moment, fi=>-r-r et g^ss -r- g- , on aura

f^g^^ et /g = *'=i(i+^ + AO} d'où résulte

^ L. j fL u -

da' av/(i+â?) **" 2V/(i+a'») *** a '

^ ^ L I îL *

da' 2V/(i + 2a') ^^ 2|/(i+0 2'

Différenciant la valeur de cù par rapport à a' ^ et faisant, pour abréger

Au ' I ^

— , // , — n *r "77 — ; — 7^ j on aura

V/(i+aa) '^ 1/(1+ a'*)>

^ sm4co»4^ /At j ,\ sin4c08%l/ . .^ .

et parce que tt = -TT77 j on aura

^'^ d# gfl'Msm^^C03 4 / ^^J^' I I— A'' \

ce qui donne, en termes purement algébriques,

•Yfi ^^ ^ •>ï^ ^ oofliT A* sin ^ CO8 1}/

^^ flfl'M sÎQ %}/ C08 4 / i+A^ . 1— A'' \

(/(i ib»flin»*») \i + cot»C,8m*4'"** iH-col»C38m»4/'

quantité qui se réduirait sans doute à une forme plus simple si l'on y substituait les valeurs de sincp cosû) et v^(i — Ar'sin*»), exprimées en fonctions de sin 4-

1 10. Si Ton fait à la fois ^^ ss ^^sr et û» sa ^^^ la quantité Y^ disparaîtra, et l'on aura pour la transformation de la fonction complète cette formule

E*k=5/JL%'h +(p — T ~ 2M)FA, où l'on observera que la valeur de M peut se mettre sous cette forme

Si l'on prend pour /i' une valeur quelconque comprise entre i et ^ , on en déduira fjt^ssz e-,^ dz=i ^^ , a = ^ , puis on déterminera A* et &•

par les formules #*(i — ^■) = a*a', 4*'(i— •A*)=ii^^*, et l'on aura tant d'exemples qu'on voudra de la réduction dei$ fonctions E'A, E'A, comprise dans l'équation précédente, à laquelle il faut joindre Péqiration F'A:==fjtt'F*A. Cette formule étant appliquée aux deux échelles qui , par leur réunion , forment l'échelle v^^j dont nous avons fait connaître les termes principaux, on pourra, par la seule transcendante F'ib, où A:;=sin45*, déterminer toutes les fonctions complètes £* et F' qui se rapportent aux difl^iieDS termes de l'é« chelle dont l'indice est 5, et qui a sin 4^^ pour terme moyen ; et dans l'autre échelle, dont les deux termes moyens k^iV sont complémens l'un de l'autre, et se déterminent par les équations A: es sin ^ et sin ny = (a sin 1 8*)', on pourra semblablement déterminer les fonctions complètes Ë' et F' qui se rapportent à un terme quelconque par la seule fonction de première espèce F'A: , qui se rapporte à l'un des deux termes moyens.

FIN DU PAEMIBa SUPPLEMENT.

Corrections et additions.