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LIGVES.
Ibid.
lay. dem.
deru.
COIAICTIOVS.
sin^C, Au' —
I — tang^çoot* s^établissent
Addition à VarU 94* L'équation des modales peut encore être mise sous la forme
= (, mf i6m(i^) (I - ifr-mO ,
oiiFon a m*=p Cette équation a toujours deux racines réelles et positives; la première , plus petite que l'unité , donne le module h, qui suit le module donné k , par la formule h^=^km^\ la seconde, plus grande que l'unité, donne le module k^ qui précède &, par la formule k^ = km*.
En effet, on peut, dans l'équation précédente, mettre à la fois A à la place de il,
et ^ à la place de m; ce qui prouye que la même équation qui, par le modale m
donné h , fait connaître le module suiyant A, , donnerait en même temps le modale
précédent k. Cette équation, appliquée au module donné A, fera donc connaître à la
fois le module suivant A et le précédent k^.
IMPRIMERIE DE HUZARD-GOURCIER , rue du Jardinet, n* 12.
§ ^^ Usage des ùnaginaires dans la théorie des fonctions
elliptiques.
III. Appelons Ç la fonction F (A:, ^) dont le module est k et Tamplir tude ^; nous aurons réciproquement Çzs: j^mp.^j ou^ pour abr^ei*, (p=sj4(j^ et sin^ =sin^(^). Soit, comme dans Fart. 19, I^'SuppL,
sin^ = I tang'd) * étant mis pour 1/-— i,la différentielle -77 — ^^. — deviendra ^ w, . ^ ,^ , A;' désignant le complément du module k; donc,
si Ton fcit £»=y^pj^-— j7r;5^ = F(A:', 4), on aura Ç=i»; car nous supposons que les intégrales ^ et co sont prises k compter de ^=0 et de %|/s=o. Ainsi la fonction H ^ fy^rJu-sin^ç) ^' ** fonction a>=y j^^^J^,^.^^^ ,
relative au module complémentaire hf, se déduiront l'une de l'autre , au moyen de l'équation très simple ^ ^ tw, pourvu qu'entre leurs amplitudes
^ et ^^ on ait l'équation sin ^ ^ i tang^f. , d'où résulte cosf =s — -,, |/(i— *'8in'(p) = v^(i-î-A'tang-4) = ~-^/(i — *"8in*4), ou...
Et parce qu'on a ÇjssjiÇky ^), n^ss ^(A/, û»), ces équations peuvent encore s'esprimer ainsi :
sin A(k^ ici) = itang^(i^, û>), cos^(A:,i«) = ^^^3^j,
a \Ky u») — ^^^A'^ ,) — ,in^(i', K'^.)- Tome III. la
go FONCnONIS ELUPTIQUES ,
Si Fon fait '^^j'^y on aura »=:F*A;' = K', et ^ = iR'j donc
tia. Ce résultat 9 dû à l'amplitude imaginaire iK.', paraît fort quftble, mais il n'est qu'un cas particulier de la formule générale
que nous allons démontrer.
Si Fon a lea deux fonctions ^=:¥{k, ç) y 0=aF(A:, «), il résulte des &rmulea connues (art.. i8^ tom. 1*^) que la sîbiis de l'ampUtode dPuôe fonction égale à ^ -f- ^ ^ ^ détermine ainsi
8m-rf(e + 8) = — ^ rr-T-ï — . >^ ■
Faisant dans celte formule :=: Xfy ce qui donne # • • sinot s= i.
cofa=:t/(i— -sin*flt)=sin«. |/— i, Afli=:v^(i — A:*sin*cc)=:A:sina« |/— i^ cos«(Aa=— A:sin^fli, on aura
> />» I ir/\ -— ftsinf 8in*«4- sîn«cof fA^ i
ou «i«^(?+«:') = j^j^.
Cette formule est l'expression dW théorème fondamental d'où se dér^ duisent un grand nombre de propriétés des fonctions elliptiques.
On en tire d'abord cos -i^(Ç+ iK!) = ,^i% r , ^-^(0) étant mi» pour |/[i— A*sin*-^(Ç)]; on a ensuite
A^(Ç + iRO = *cot.^(^), cot^(0+iKO=iA^(0).
ii3. Si, dans l'équation (i), l'on met ^ + ifL' à la place de ^| od «Qm
sin^(g + :>^K0 = fc3l^(^+a^^) = «iP^(g>
Mettant dans celle-ci ^ -f- aiIL' à la place de ^y on aura de noofeau
sin^(Ç + 4iR0 = sin ^ (Ç + aiR') = smJ(^ j
donc, en général, mt étant un nombre entier quelconque, positif ou ne» gatif, (Hi aura
(a) sin ^( ? H- a/n'îKO = sin ^(Ç).
On ne change donc point le [^sinus de l'amplitude d'une fonction ou
F (A:, ç)y quand on ajoute à cette fonction, ou quand on en retranche la quantité imaginaire 2m'XJy qui est le produit de i ou )/ — 1 par un multiple pair quelconque de la fonction complète K^ ou F' (A:').
114. D'un autre côté, quelle que soit l'amplitude ^ de la fonction Ç = F(A:, (p)f la fonction + aK ou F(A:, ^)-J-F(A:, ^) pourra être représentée par la fonction F(A:, ^-f-''')) ^^^^ l'amplitude est ç+'Tt, et pubque sin(^ + '7r) = — sin^, il s'ensuit qu'on a en général
sin^(Ç + 2R) = — sin^(0) ;
donc, en mettant ^•^jK à la place de ^ , on aura aussi
sin^(^+4R) = sin.^(^),
De là résultent évidemment les deux formules générales
fsin^[? + (4m + 2)K]=-sin^(Ç), ^""^ lsin^(0 + 4mK) = sin^(^), m étant un nombre entier quelconque , positif bu négatif.
Mettons maintenant dans ces deux formules ^ -f- 2m! îK! à la place de f , et nous aurons, en vertti de l'équation {2)^ ces deux noorelles formules .
f.. f8in^[Ç + (4ii» + 2)K4-2wi'tK'] = — 8in-^(^), ^^^ (8in^(ÇH-4mK + 3m'iR') = 8in^(^),
qui ont lien quels que «oient les nombres entiers m et m', positiÊ ou négatifs , et qui contiennent ainsi une propriété très générale des fonctions elliptiques de la première espèce.
11 5. Il est facile de voir quel sera l'usage de ces formules, pour diviser une fonction donnée ^ ou F(A:, ^) en a parties égales. Soit, pour cet
effet , a: = sin -^ r ~ j ; puisqu'au lieu de Ç on peu t mettre ^+4i»KH-2/»'iK',
sans que la quantité donnée sin^(^) éprouve aucun changement, il s'ensuit que l'équation qui détermine la racine x déterminera également toutes les racines comprises dans l'expression générale
«t quoiqu'on puisse donner à m et à m' telles valeurs qu'on voudra , en nombres entiers positi& ou négatif, il n'en résultera cependant qu'un nombre déterminé de racines différentes entre elles* En effet, quels que soient m et m', on peut toujours supposer m sscpt -|- /i4^ m! sssa'n ^fify « et a' étant des entiers pris de manière que fi etft' adieot mmndrea qae j»,
ce qui donnera k valeur
laquelle y en vertu des équations (4) y se réduit à
(5) a: = sm^(f+^*±^').
De là on voit qu'il suffit de donner à m y ainsi qu'à m% les valeurs Oy ly 2^ 3. ••/»-— I , et la combinaison des n valeurs de l'une avec lesn valeurs de l'autre donnera n* valeurs différentes comprises dans l'ex— pression (5).
Donc, si l'on a F(A:, Ç) =:-F(A:, ç)y l'équation qiû a pour racine àn^
sera du degré n% ce qui s'accorde avec ce que nous avons trouvé ci-dessus ^ pour le cas où n est un nombre impair. On voit, de plus, que l'équation dont il s'agit aura toujours n racines réelles , et n^^^n imaginaires. ii6. Si n est un nombre impair, la valeur de sin^ s'exprimera ration-
nellement par sinÇ ou or, de manière qu'on aura sinf =?a:.^, P et Q
étant des fonctions paires de x du d^ré n* — i .
Si n est pair, on pourra supposer nz=z2^py p étant un nombre impair ou l'unité. Alors la division delà fonction F(A:^ ^) en n parties égales exigera deux
opérations: l'une pour trouver l'amplitude telle que ¥{k, d) = -^F(A;, ^),
ce qui se fera par les formules de la bissection, répétées autant de fois
que a contient d'unités j l'autre pour satisfaire à l'équation F(A;, Ç) ^^ " ^(^9 ^)>
c'est-à-dire pour diviser la fonction F(A:, 6) en un nombre impair p de parties égales , ce qui se fera par la résolution d'une équation algébrique du degré p% ou plutôt par l'application des théorèmes I et II du premier Supplément^ qui réduit la résolution de cette équation à celle de deux équations du degré p.
Et lorsque p sera un nombre composé , la résolution algébrique dont nous parlons se simplifiera encore en l'appliquant successivement aux différens &cteurs du nombre p. Mais, dans tous les cas, il £iut, de plus, supposer connues les fonctions trigonométriques qui se rapportent à la division des fonctions complètes K et K' en un nombre impair de parties ^les. BeiiU<» coup de recherches ont été faites sur ce point très difficile de la théorie ; nous en donnerons le résultat avec tous les développemens nécessaires, dans une autre occasion.
§ n. Développement des fonctions trigonométriquea de Vamr plitude en séries composées (F une infinité de facteurs.
117. Dans le Traité précédent , et surtout dans la partie qui concerne les approximations, nous nous sommes attaché à déterminer les fonctions par leurs amplitudes ; nous allons maintenant nous occuper du problème inverse , qui consiste à déterminer les amplitudes par les fonctions.
D'après les formules générales du théorème II (art. 39, P' SuppL), l'équation des fonctions Y{h , 4) = i^^{k , ^) est satisfidte par l'équation des amplitudes
où Ton suppose 7" = sin 4 > 2 = sinÇ, et F(Â', f J = — F'A'=— H'.
Cette valeur de z, qui se rapporte à un nombre impair donné p et k un module donné ky ne contient en général qu'un nombre déterminé de facteurs; mais lorsque p est infini, ce qui est le cas que nous voulons examiner, la série de ces facteurs s'étend à l'infini, tant dans le numérateur que dans le dénominateur. Alors, quelle que soit la valeur du module donné A, le module transformé h sera infiniment petit, comme le fait
voir l'équation
hz=s kf sin^ et^ sin^ 0^ sin^ «5 etc.
On pourra donc supposer la fonction complète H = ^^, et son complément H', exprimé par logT, deviendra infini. Mais, par les formules de
article ate, on a ^' = j^ =^ et ^ =;? g;j donc, y = -g- = ^,
