I -^ay* cos 2>|,+î
1 + ^* col' Cm / i~y" ^'\ I— ay*
I + y* cot' C»«i "" \ 1 — f "* / * 1 — ay*^*
cosa4 + ?
ftn— &*
94 FONCTIOKS ELLIPTIQUES,
Au moyen de cette dernière formule, la valeur de z ou sinf pourra s'exprimer ainn :
^ X ^ ■ I — 2<7 cos a^Jz + y** 1 —2^ 00$ 24-+^** I— a5'*ooi24+5f*** '*
A — * - • j • • • « • etc*
Et puisque la supposition p=zco ^ qui rend le module h i tit, donne F(Â, >|/) = >|/ =/u'F(A:, ^)=i-^f{ky ^), on voit que la formule précédente détermine Vamplitude ^ par la fonction F(ifc| f); car
ir F(A 0)
connaissant F(A:, ^), on connaît l'angle 4 = " * k
Si ^ est infiniment petit, on aura ^s^b-^^? ^^ ^ 9^=7^9 OQ aura
aussi 4 ^^ î^- Dans le premier cas , on trouve par la formule la même valeur de A en fonction de Çy que nous avons rapportée; dans le second cas , on aura cette seconde valeur
118. Appliquons maintenant de semblables réductions aux deux fermulea (45) et (46) de l'article cité.
La supposition de /? = 00 ^ qui rend égales à l'unité toutes les qaantités
(i — A*/*)*, sin6^, , sin6'^«,, etc., permet d'écrire ces deux formules de la manière suivante :
^ I 1 — v*cos*C» I — y* 008* Cl I— y*cos*Cg
co£ ^ =5 cos4 • . , » — rr?" • , ^> — rrtr • — rh — r;-?^ • etc. ,
^fL ^\ 1 —y C08 » g, 1 —y COi* €3 I —y C08* C s
^^^' <p; ~ , +y cot' c, • i+ycovcs • I +3^* cof e's • ®^^-
Mettant sin*'4/ ou ^(i — cos24) à la place de j^, et substituant les valeurs connues de cos*^» et cot*^», on aura
cos<p = B'cos>p. '+^«0»'» J+?; . '-f Vco»a^-f y» ^ ,^.Vco.»4>+ gl'
^ I— 2<7 00824'4'S' I— 25r'c0824'+<7' 1— 2jrC0S24'+^
A/L ^\ n* '+ayoo824 + y* i+2^co824, + y<^ i+2ySco8 24+y'^
Ai,/t»^;— '^ • i—aqcOSH^ + q^' l—2<7^C0824.4y- 1 — 2^5 co824 + î»**®^^->
= , , • rr 3 • 1 la • etc.
DEUXIÈME SUPPLÉMENT. gS
Oatre ces deux valeurs de B et de D , que donne la supposition de ^=o et «nI/ssO) on en trouve deux autres par la supposition de ^s=:^^ et
4 =i7r, qui donne ^= ^^j^ = 5;j; =- t/(i — A'sin\4>) = -;p. Ces va leurs sont : 1
G)mparant les deux valeurs de D, on en déduit D s= ^h^y et par conséquent ,
(6) i^*' = ril • i^ • î^ -te-
119. On voit que ces formules contiennent diverses fonctions de q^ exprimées par une infinité de facteurs binômes, dont il importe de déterminer les valeurs-; ces fonctions, au nombre de quatre, sont
«= I— y .1 — 7*. I— y*. etc., 6= i+y • 1+9*. 1+9*. etc. , a'= I — 9'.i — ^.i — 7*.etc., Q'zs=L i+^'.i+^.iH-^'.etc.
On trouve d^abord qu'elles satisfont à l'équation a^=: eutfCC', ou i = aÇÇ^
car on a immédiatement
aa' =3 I — y . I — . ^«^ I —.^3^ , ^♦etc. , €€'s=: I -f-y .i-f-y*. I +^'.1 +^.etc.;
donc^ etafSS' = i — 7' • i — g*, i — 7*. i — ^'.etc. = a',
ou I == clSC De cette équation on déduirait - = €€'y ou
(,-,)(,.,^(.-^)ete. '=('+yX'+y)(''+y')0+y^) etc.,
ce qui est conforme au théorème connu dans la parti ti(m des nombres. ( y oyez Introd. in Anal., page ^7^.)
Maintenant, les équations que nous avons trouvées pour déterminer les ooeffîdiens A, B , D , peuvent s'écrire ainsi :
Les deux premières donnant le même résultat que la troisième 9 savoir ^
2- =s yliy nous n'avons réellement, pour déterminer nos quatre quantités, que les trois équations
et il reste à trouver une quatrième équation.
120. Pour cela, soit c'*'^""' ou e^z=iS^ on aura sin^ =3 r— — ,
cos a4 =^ — * ^tte dernière valeur permettra de partager chaque
facteur trinôme de l'expression desin^, en deux facteurs binômes; on
obtiendra ainsi :
ix—q^^ .i^q^Y^ .1— i7»V ... etc.
. 2K.^ V— V-' ti— <7*V—.i— ^V.i— <7^"*.,. etc.
anç — — A • ai -fi— oV* .1— W* .i-c*V* ...
(i—qy^ .i—q^y^ .1— ^V ... eta
sin
ir ai i'""
9V-*.i— fl»V-*.i— ^V-'... etc.
Mais on a '^zzz^TÇk, ^), ou î— ^ = F(A:, ç); donc cp est l'amplitude
de la fonction -^ , ce que nous exprimons ainsi : ^ s^^A ( ^— ^ j et
sin^ =8in.i^r^— ^\
Mettons — ^'-{-Xf à la place de — >(/j alors sin ^ se changera en
— i -|-iKM ou , . . En même temps >|/ devient 4"l""^'>ct
e^ ou V devient e ^^ ou Vy* ; d'où l'on voit qu'on peut mettre dans la formule précédente , . au lieu de sin^, pourvu qu'on mette en
même temps Y^* à la place de Y. Par cette double substitution , la fiw-
mule devient
1 1 fi— 9^* .i~9*V» .1— fl'V* ... etc.
I aK ., Viy*— y-'? "* ti— <yV-*.i— y^"*.i— ^V-^... etc
irsin^ ir * ai •ri ç*v» .1— ç^V .1— ç^V ... etc.
ti— V— .1— (/•V-».i— <74V-*... etc.
Multipliant ces deux formules membre à membre, et réduisant ^ on trouvera
i=(^yA^.-ÎT, d'où résulte A=(^V*'*-
lai. G>Qnaissant ^, on aara d'abord les quatre quantités «, et', C, €', au moyen des formules
itV
Ensuite on aura B = g>= ^V'Cr) et D = (hff'. Ainsi tous nos coefE-
ciens sont déterminés, et de plus, la valeur des produits ^^ (f!^ € y C, est connue en fonctions des quantités A:, k', Ky qui peuvent être déduites
de la quantité donnée ^ = e
1:1a. Cela posé, les fonctions trigonométriques de l'amplitude ^=^ ^=2l.\ seront ainsi exprimées :
. yaK4^\ a<7^ . . i — 27*co8a4 + ^ i — 2<y^co824^+ç* i — aiy^cosa^ ^-fç»»
'" \ ir / ^i * I -T-29 ces 24^ +9* * I— 29^0082 4+9«' I —29*00824^+9 10 ' ®^C. 9
/qnJ V /^^'Î'V. « J/'^'N*-^ I i+a9'co824+(;^ i+29^co8 2%H-9* i+2<;«cos24/+o'*
W \cos >1 1 J= 29*1 -t- ) CO84. 2 j ^ . i^ î-.-^- ■ \ T-^— .etc..
j \ «r / \«/ I 29 C0824'+9* I — 29^00824^+9® I 29*COS24/+9»« »
Ajj{^È\s:(k^Y ' + ^?^^^'^ + ?* I + 293 C08 24/ + 9» i+29^oo8a4.+9**
La quantité Çy qui entre dans ces formules, est exprimée par l'expo-
nentielle e ^ , de sorte que son logarithme hyperbolique est — — , et
qu'il se détermine ainsi par le rapport des deux fonctions complètes K et R', qui répondent aux modules k et k'. Pour rendre plus facile le calcul des formules très nombreuses dans lesquelles entre la quantité^, il serait bon de dresser une table des valeurs de cette fonction ou de son logarithme, pour tous les dixièmes de degré de l'angle du module, ou seule-
(•) On sait qoe le produit (i — S')(i — 9*) (i—y'Xi — 5^)elc., continaé k Tînfini, donne > par son développement» la 8aite i — <7 — ^*+9'+9' — ^"•— y**+etc.
dans laquelle les exposans de q sont de la forme . Cette suite , qui est ex-
— J (2Ait')^it ^q •', quantité qu'on. peut calculer d'une manière fort approchée par les tables elliptiques, mais qui n'en est pas moins une transcendante fort composée*
