Tome III. i

moDt de degré eu degré, ce qui se ferait très fiicilement , au moyeu de la table des fonctions complètes , que nous avons donnée sous le n* I , dans le tome II.

La fonction q se rapportant au module k^ m Ton appelle r la fonclioa semblable qui se rapporte au module complémentaire V^ on aura

logy^i *L et logr = — =7, par conséquent

(9) logy xlogr:^^'.

Ce produit serait m^% m étant pris pour 0,434^9 • • • , si les deu]c kh* garithmes devenaient des logarithmes vulgaires.

Ainsi, l'on voit que log^ et log r se déduisent facilement l'un de l'autre ^ et puisque tt est le logarithme hyperbolique de â3,i4 è peu près, il y aura toujours im des deux nombres ^ et r qui sera plus petit que x%.

133. Si Ton considère deux termes consécutifs A: et A de l'échelle des modules dont l'indice est n, la quantité q qui se rapporte au module k deviendra ^* pour le module suivant A; et, par la même raison, elle serait

^ pour le module k^ qui précède k.

En effet, puisqu'on a, par la propriété générale de l'échelle des mo-

dules, ^^'^u?) là quantité q.^ qui se rapporte au module A, aura

pour valeur e "^; on a donc ^«=:^; par la même raison, la quantité ^1, qui se rapporte au module A;., ayant pour valeur e ^* , on aura

G)nnâissant donc, en fonction du module A: et des quantités dépen-* dantes de X:, telles que k^ K, K', la somme d'une série quelconque, dont les termes procèdent suivant les puissances de q , comme sont les produits d'une infinité de facteurs, désignés ci-dessus par a, a', ^, ^', ou connaîtra, par une fonction semblable du module A, la somme de la même série, dans laquelle on mettrait 9" au lieu de ^; et par une fonctîou semblable du module A:,, la sonune de la même série, dans laquelle ou

mettrait qf^ au lieu de q.

On peut multiplier ainsi, d'une manière indéfinie, les formules telles que celles qui expriment les sommes des suites tf, a^, ^, Ç,\ et une infinité d'autres.

Lorsqu'on fait l'application de l'ancienne échelle, dont Hadice est :i.

DEUXIEME SUPPLÉMENT. gg

îl £ftut, en mettant q^ au lieu deq, remplacer en m^e temps A, A^, K^ K', par A, k'^ H, H'; ensuite on pourra mettre pour ces dernières

quantités leur valeur en fonctions des premières, savoir, hss 'T»/ ,

A'b=yxt^> H=a~— K, H' = (i-f-A/)R'. Par ce moyen, la seconde

formule sera exprimée en fonction de A; , et l'on pourra de nouveau substituer q^ au lieu de g y ce qui donnera une troisième formule relative au module h^y qui suit h. On verra ci-après des exemples de ces opérations, qui peuvent être faites, soit dans le sens des modules décroissans, comme on vient de l'indiquer , soit dans le sens inverse. 134* Nous avons trouvé ci-dessus la formule

laquelle s'applique au module donné k; si on l'applique au module suivant A, dans l'échelle dont l'indice est a, on aura

(,o) i/^'=-^..-^.^.etc.

Cette formule peut servir à calculer, par approximation, le module A, au moyen du module donné A;, dans l'échelle dont l'indice est /», ce qui dispenserait d'avoir recours à l'équation des modules. On aura semblable'^, ment la £3rmule

(„) C^k'.=lzzl.L:l4''-=4'^-->

i + fl» I +9» 1 + 9"

qui servira à calculer le terme k^ de la même échelle, qui précède le module donné k. Ainsi, par ces deux formules, on peut connaître successivement tous les termes d'une même échelle dont l'indice est n, tant dans l'ordre croissant que dans l'ordre décroissant, et l'on peut même supposer que n est un nombre rationnel quelconque.

De plus, conmie l'on peut, au lieu de 9% mettre c^*, é étant une racine imaginaire de l'équation <" = 1 9 on voit que n étant un nombre impair

quelconque, la seconde formule donnera n valeurs différentes de (/A^o ^^ par conséquent n valeurs du module A,, qui précède k» Donc, on aura de cette manière n^i transformations du module A, et par conséquent n4-i transformations de la fonction donnée F(A:, ^), ce qui s'accorde, tant avec les deux exemples connus pout les cas de nss3 et ns=5,

loo FONCTIONS ELLIPTIQUES,

qu'avec une règle générale annoncée par MM. Abel et Jacobi. Au reste y de ces n-f-i transformations, il n'y en a, comme on voit, que deux de réelles, les n — i autres étant imaginaires; et puisque le nombre qui est n en passant du module k au module k^ , devient n*, n', n^, etc. , en passant du module k aux modules suivans k^y k^j k^^eiCy on voit que le nombre des transformations imaginaires augmente d'une manière prodigieuse , a mesure qu'on passe du module donné à un module de plus en plus éloigué dans l'ordre croissant.

DEUXIEME SUPPLÉMENT. loi

§ UI. Autre sorte de développement des mêmes foructioiis

trigonpmétriques de F amplitude.

125. Revenons à l'expression de sin ^ de l'art. i:ao, et appelant Aie produit des facteurs binômes,

nr v->^ l^— v'V- .1— ^v .1— 7«v .etc.,

V^ ^ J li—î'V— .1— ^V.i— v«V-.etc., supposons que ce produit, continué à l'infini, soit ëgal à la suite A.(V-.V-0 + A.(V»— V-^) + AsCV*— V-*) H- etc. ,

A,, Aft, Aj, etc., étant des coefficiens indépendans de Y. Si, dans les deux expressions de fl, on met qW à la place de V, on devra avoir l'équation

r.V^-V-^p-^'-^-9'V- .i-7«V .etc., W^ 7 > ^|,v-.i— y-V-.i— 7*V-.etc.

= A.C^V— 7-"V-0+A.(7»V»— f-*V-') + As(7*V»— 7-»V-*)+etc.

Or, en retranchant les facteurs égaux dans les premiers membres de ces deux équations , ils se réduisent, le premier, à (V — ^V^'Xi — y*V*); le second à (^V— •^*V""*)C^ "^^"*)- Celui-ci est égal au précédent, multiplié par

— -=r;j donc, si l'on multiplie le second membre delà première équation par ^V% et qu'à ce produit on ajoute le second membre de la seconde , la somme devra être zéro; on aura donc, l'équation identique

G = A,V+ A.V'H- AsV* + A4V' + etc.

A.V + A,7*V» + A.^V* + Aa^'V +etc.

— A.V- — A.V-^ — AaV-^ — A4V-' — etc.

— A.y— V-'— A,9-*V-^— A4^« V-^—Asy-'V-'— etc.

Par le3 puissances positive» de Y, on obtiendra les équation» de condition

A^+A,9* = o, A|-|-A^9*s=o, A4 + As9's=o, etc.;

et comme les puissances natives donnent les mêmes équations , on en àéduira les déterminations suivantes :

A.=:— A,7% A,=:— A.y* = A,7*, A^s: — A,7*=A,^'% As s=s — A^^' = — Ai7'% etcv ;

donc enfin on a A ou

/T-V-^/'~y'^* .i~^V ,i-7*V -etc.

formule dans laquelle les exposans de q résultent de l'addition des termes de la progression s, 4? 6> 89 ^t^*? ^^ sont par conséquent les nombres triangulaires multipliés par 2.

Dans cette formule, le coefficient A| étant indépendant de Y, peut être déterminé en donnant à V telle valeur qu'on voudra. Soit V=^— i, ou V*=— ij on aura

* I 4.ç*+<y« + 9»* +9** + etc.'

Le numérateur de cette fraction est égal à ^^ \ quant au dénonHoataur, sa valeur sera donnée ci-après , et il en résulte

ia6. La formule que nous venons de trouver , pour l'expression du produit A, va nous en fournir une seconde, non moins utile; il suffit, pour cela, de

mettre ^^Y k la place de Y, et de multiplier ensuite les deux membres

par — -7*Y} on obtiendra ainsi la formule

I— ^Y* .1— /Y* .1— y»Y» .etc.

I — ^Y-S I — y«Y-'. I— y*Y— .etc.

= A, [1 — y(YH-V-0+^(V*+Y-0— y'CV'+Y-*)-!- etc. ,

où l'on voit que les exposans de 9, dans le second membre, sont les quarres des nombres naturels.

127. Si l'on restitue , au Keu de V, sa valeur ^ ou cos^ + ^— i sia^^^ les deux formules que nous venons de trouver s'écriront ainsi :

sin4(i — a7Vx>s24 + 7*X* —2^00824 + y')(i — ay*cosj4 + y") etc. =A,(»in4 — ?*swi34+7*sin54 — y"sin74+€4c.),

(1 — 29cosa4 + Ç'Xi— 2Ç^cosa4 + 9'^(i — a7*cosj4+7**)etc. 2= A,(i — 27 cos 24 "f* ^^ cos44 "" iîy'cos64 + etc.).

On pourra donc donner aux trois formules de l'art. laa la forme suivante .

OÙ nous mettons J? à la place de 4 9 en supposant < — s: F(A ^ 9) » ou

DEUXIÈME SUPPLÉMENT. io3

^ /^^\ — (}^ V ^?*»'P^ — 2^4sin3jp^- aç'T'ginSg — gy 4 5in7« + etc. \ «■ / \k ) * I — 2900s 2AP+ 2(/^co8 4» — 29»cos6* + cta *

( * 3) < V / ^K-A .^ / ^Y g^^cQgy+^Ç^oosSjf+a^ ^ cosSjf +219 ♦ cos7 4p+etc.

I \ X /""\fe/ ' X — 29 00S2JP+ 29^ 008 4jf— 299coS&r + Ctc. "'

\ ir /"""^ ^ • i-*29oos2AP-f-^^co«4'''*-2(79oo6&r-f- etc.*

Ainsi nos trois fonctions trigonométriques de l'amplitude sont exprimées par des suites régulières, dans lesquelles les exposans de q sont, d'une part 9 les quarrés des nombres naturels ; d'autre part, les quarrës des nombres impairs divisés par 2.

128. La forme de ces expressions très remarquables nous conduit k considérer deux nouvelles transcendantes 0(79 x)^ A(7> ^)> ^^ simplement Q>x, Âà?|dont les valeurs développées en séries sont :

(©a: = I — < 2^cos2^-f"A^<^s4^'~^7'^s^*f"^7'*<^os8a:— -etc. , \Kx s= aç^sm jp— ly^sm ox^nq ♦ sm5a? — a^^ * sm7X + etc. j

et comme, en mettant x^^^^ir^ au lieu de or, on obtient

!0(a:+i9r) = 1 '4-a9cos2j:+2y*cos4r+2ç9cos&r4-etc., A(x -f- i tt) = a^^cos or-f- 2y *cos 3a:H- 29^ ♦ cosSj^f*^^ * C0S7 ar+etc,

il s'ensuit que les trois formules précédentes pourront être présentées sous cette forme très simple :

(.6) ^v.^(Sî)=^yf!î±h).

129. Outre les formules des deux articles préoédens, on doit encore i M. Jacobi la formule suivante :

sin -4"^wn — — a'sîn — — o® sîn ^ 4-cf**sin 5C -f-etc. 2*^ 2 ^ 2 ^ 2^ 2

(17) / cos— — 9CO8 9^00$ f-9*cos-^ — |-9'**ooi2 — etc.

<in ^x(i + 29 oosjg+ 9*)(i — 29*CD8jg+<y^)(> + 29^cosjf + 9*) etc.

C08i«(l— -29OOS4P + 9*}(l + ^'OO8S+90(l ~*^4^0<M' + 9*) «^^'^

que nous allons démontrer.

io4 FONCTIONS ELLIPl^IQLES,

Kir

Supposons — = ^F(^, (p):=iF(kj er), nous aurons, par les formules

de la duplication des fonctions, tang7^ = Â0'tang(r; en même temps, si l'on met j or à la place de x, dans les formules de l'art. 127, on aura

^J.^* sin î g? — g* sîn j x + q^ sin^x — y'* sin ~ a: + etc.

^ \ky * co8|^ X 4- 9» cos I a: + 9* 008 J a: + <7'» sîn | x+ etc. '

. /l-'N» I + ^<? ce» ^ 4* a<y^ C08 ^ J-* + ay9 cos 3x ■!■ etc.

"^ ^ ^ 'i — 2<7 cos a; 4- 2^ C08 207 — 29» 00s Sx + etc.*

Multipliant ces deux équations, on aura la valeur de tango'Ao', ou celle

de tangx-^ ( j ; mais le produit ainsi trouvé n'est pas réduit à la forme

la plus simple dont il est susceptible.

Par les formules de l'art. 128^ on' a

Mettant ^x à la place de Xy le premier membre deviendra Âortanger ou tang 7 ^ ; on aura donc

i3o. Maintenant, il faut faire voir qu'on peut mettre sous une forme plus simple le pi'oduit désigné par Ax&(x+^7r). Or, en combinant les formules de l'art. 128 avec celles de l'art. 127, et faisant

on a ces quatre nouvelles expressions :

6» =C(i — 2(7C082*+9*)(i— 29'cos2*+4/')(i— 27*cos2jr-}"9*")etc. , Ax:=s 2(;4C8ipx(i — 29*oo82*+9*)(i — 2q^ooKue+q^){ i — 2ç^co82af+9")elc ,

î'9) ]e(X+ ïir) = C (l+2flC082*+7*)(ï+2y'c0824H-9«Xï+29*C0S2*+ 9'«)etC. ,

A(X+ g v) = 27* G!08«(l + 2fl*C08a*+7<)(l + 2^C08a*+q*)(l+27*C082«-t-9'*)etC.

Faisant donc de nouveau e^ = y, pour décomposer les facteurs trinômes, chacun en deux facteurs binômes, on aura

TTV-WV V-'^^'-<-^^' ''-'^^' •'+^'^' '"^*^' •'■*'^*^" •'''"•' ^v;— (,v— V ;^,|,^Y-..i y.v-.. i-^»v— . I— 9*V— . i-4yV— .etc.

DEUXIÈME SUPPLÉMENT. io5

Mettons , dans cette dernière équation , V |/( — q) k k place de V, nous aurons

7rv^/—n\ ri±S!I^h— 9'V' .i+y'V' .i-7«V .i-fyV .etc.

^( V V— 7;^ ^v v^C-çV 1 1 — V- . i-H V- . I— 7*y— . I +7»V- . etc.

Donc, Z(V)[=— V*V^( — 9').Z(Vv/ — y). Supposons que la valeur développée de Z(y) soit

Z(V) = «(V— V-) + C(V»— Vr») + >(V»— V-*) + etc. , on aura

Multipliant de part et d'autre par — Vv/(— ^), on aura celte seconde expression de Z(V)

( aV H- «yV« — gy'V* + >9^V' — etc.

Z(V) = j Cv^.+2lv-3 - J^V-* + 4V- - etc.

Comparant les deux valeurs de Zr(y), on aura, par les puissances positives de y, comme par les puissances négatives, les mêmes équations de condition, savoir,

ff — ^, y^ — Aq\ cr = — A^*, € = rty*% ^ = «9*», etc., et par conséquent

3(V)s==-IT»— V-*+9(V5— V-V^(V'— V-*)— 9«(V7-^V-')+9'*(V9— V-9^^^

Dans cette expression, les puissances de q ont pour exposans la suite des nombres triangulaires, et ces puissances offrent alternativement deux termes positifs et deux négatifs.

i3i. D'après ce résultat, on a la formule générale

(ao) Axe(x 4- Jw) = '^{ûnx^qAn. 3x — fl'sinS»— 9* sin 7* + 9"® sin 9» +etc.) ,

A(4f + J^)ejF=M(co8* — flcosS* — 9*co«5«4-9^coç73r4-fl"*cos9» — etc.).

Si Fou met 7 a? au lieu de JC, dans ces deux formules, et qu'on divise

l'une par l'autre, on aurfi la première expression de tang j;j4 f^ — \