I . /^Yj <y*+<y*+<y^ +<?^ 4- etc

(21) /*N*v I— 29 + 2<;» — 2^+>g»^— etp.

I + 2<y + ^7^+21;» + 2(y'^ + etc.

2K 14-3(7 — S<y3 — 7<y«+9<7'^ 4- ii<;'*—i3^" — et c.

où l'on voit six séries différentes dont il faut trouver les sommes sépa^ rément.

i33. Soit II (A;) la fonction inconnue de A;, par laquelle doit être ex* primée la suite i + 27 4- ^9^* •+• 29* '^atj/^ + etc. j la troisième des équations (21^ donnera 1 — 29 -f-ay* — 29* + etc. :?5: (A')*n(A) , et par ço»* séquenc

i + ^9* + 27'* + 39»« + etc. = i±l^n(A);

or, en inettant 9^ au lieu de ^, ou h^ au lieu de A:, dans l'équation supposée < H-'^^Ç + ^r^^^ Hh e|c.c=sîI(Jt)^ on a

i + a/ + a9»« + 9** + etc. =? n(A,).

I^im anttt eâté , puisqu'on .suppose que Jk , A, A. , sont trois termes eon« sécutiÊ dans l'échelle dont l'indice est 2 , on a , par la propriété de cette

écheUe, K=(i+A)H»<i +*)J[I+^)^. = r^jf • npErH.

= ch4^ "'^ '^''''''^ */Hi^^r^ V^Ki de U ^ de ItévwOipu n(A,) = i±i^' n(;t) , on tire

n(fcO P(^)

io8 FONCTIOKS ELLIPTIQUES,

Le premier membre est la même fonction de q^ que le second de q ; done,.

-^ est une quantité constante. Or, lorsque A:=so, on a 9=0, Ksss^^r^

et n(A)= I ; donc la constante = tttt^i et par conséquent n(A:)=: %/( — \ Donc on a la formule

1 + 39 + a^+ 27*+ ay'* + etc. =s i/(— ^ ,

au moyen de laquelle on en trouve plusieurs autres, telles que les suivantes :

I — 29 + 29* — nq^ + 39'* — 2q^ + etc. = yQ- — ) , I + 2^ + 29'« + 29»^ + nq^ + etc.= i^^' \/(t)' ^.+ ^9 + ç^ 4. ç4s + etc.==:irVi' y/(^),

9'+ y* H- 9* +9* +etc.= y/(^).

^ï— 37* H- 5^^ — 7^^ H- elc. = ^|y (2**')* ,

, — 33» 4- 5/ — 77" 4- etc. = q' * C^y (aAif )', I + 7' H- ?• + ^" + etc. = y-ï ^(^).

De ces deux dernières on déduira , en mettant q^ à la place de ^r , ou A:, à la place de A: , et réduisant , les deux suivantes :

iH- 7-f- ^+ /+ y'°H- y"H-etc=9''v/(v-*)' 1 — 3^+59* — 79* +9^'*"' iiy'* + etc.s=:y •!-)'. aAr'A:*.

On voit maintenant, par la valeur, de la suite i H~ ^^^^^'^ etc., comment a été trouvé ci-dessus le coefficient At, d'où Ton déduit le coeiX ficient

le même qui entre dans les valeurs des fonctions 0jr et Aor développées en Êicteurs trinômes (Éq. 19).

134. Pour déterminer le coefficient M dans la valeur de Koc&{x + ï'^^y art. i3i , soit â:= ^ tt, on aura

Or on a

(»+y + ^ + /4-9'° + etc.).

donc

A| =aVC(i+74)(i-hy«)(i4-9")»etc., ©^= C (i + y*) (i + q*) (i + y"), etc. ,

i35. Pour trouver d'autres formules, nous réunirons d'abord ici quelques-unes des principales valeurs des fonctions &x et hx :

Aossso,

(aa) ( '

à quoi il &ut ajouter qu'en supposant x infiniment petit, on a

Ksi

ces valeurs se déduisent facilement des formules déjà démontrées.

Gela posé, si l'on fait xz=zo dans les équations (19) et (20), on en

déduira

,4.3^ — 5^ — 7^« + 9^"+iiy'» — etc. =27"»(|)' (A:*')',

Si dans ces deux dernières formules on met q^ au lieu de 9 ^ et A au lieu de ky on en déduira

,+3^'-57«~79"+9r+"/--etc.=/-i(i+Â')(5yy(irlV*'),

, ^•— ^t^. y«+ y-o^. y-^etc.ss^'^dy (i=^ v/jfc'y.

i36. Nous joignons ici le tableau des diverses formules que nous. venons de trouver, et de quelques autres qu'on peut aisément en déduire par le procédé indiqué art. 12Z.

uo FONCTIONS ELLIPTIQUES,

I — ay +39* — a^»4-2y'* — elc. = %/( J,

, 4. 2^ + 39.» + 37« +etc. = ii^Y(f)' 9' + 7' + y*» + ^» + etc. = ^^=^' y/(^) , , 4. a^« 4. a^» + ay" + 29»* + etc. = i/f^ (i 4-AO] > I — a^' 4" a^* — ay" «f* a^ — etc. ^ \/\~~ V^j >

9* + 9* +9' + 9* 4-etc.= y/(^),

I + 9' + 9* -^ 9" +etc.=y"i^(|;),

9~' -h 9' -h 9' +7* + etc. = i y/[- (i — *') J ,

I + 9' + 9' + 9* + 9" +etc. = 9~*^(^l/*)»

I — 9* — 9» 4- 9» 4- 7" — ctc. = 9"'t/(^V/ÂÂ'),

, — y. -. ^« 4- y.. 4. y.. -.etc.=:9"^y/(5). y/(^ V/*') ,

j 1 — % 4- 67* — 7/ 4- 9y'* — etc. = 29"^ (vT^V^»

I — 3y*-h 5/— 19" 4- 9^— eic- = y"'(7)'0»**')*'

I — 3y« 4- 59" — 7f^ 4- 9^' — etc « r •(!) V(îA V A') >

ç' 3^» 4- 5^ — 7/» 4- etc. =?i=i(^y[(i4-*0a /*']*'