etc. = ay"»/-)'(Aafc

1+3/— 59«-79'«4-99-4. 1 1^»*- etc.«= y'^^'+^X^) v(^*^*')»

etc. , etc.

iVofti. L& différentiatioa de ces formules en produirait une infinité

d'autres, par la substitution ^ 5= — -^iy

§ V. Usage de ces formules pour diverses sortes

d'approximutions.

187. Si Ton conDaît le rapport des deux fonctions complètes K' et K, et qu'on appelle ot ce rapport =s — 1 on connaîtra immédiatement la constante ^=e""**, dont le log. hyp. = — avr. Cela pose, il sera facile de calculer ^ avec tel degré d'approximation qu'on voudra y la fonction K au moyen de la formule

K=^(i4.2yH-a9* + a9» + a9*«+etc.)';

elle sera toujours très convergente si l'on désigne par A; le plus petit des deux modules complémentaires A: et kj ou par K la plus petite des deux fonctions complète3 K, R', qui répondent à ces deux modules. Par ce moyen , la quantité q sera plus petite que -^^ et la série précédente^ bornée

à ses quatre premiers termes, savoir K = - (i -f- ^7 + 3^* + 29*)' , suffira

pour donner la valeur de K, exacte jusqu'à 20 décimales au moins. Connaissant K , on connaîtra en même temps Ik! = aK.

i38. Dans le même cas où q est donné immédiatement , on trouvera les modules ketJd par les formules suivantes, qu'on choisira à volonté,

/jj .«, 1 — ay 4- 2y^— 2yg + ay'^— etc.

y "^^ I -f- 2^ -f. 25^* + 2g9 4-2^**+ etc. '

*^ m ï + »? -^ ^^'\'^q^ + ^'^ + etc. '

UA\ I ^/^f I — 2y' + %q^ — 2g'« + 2y3> etc.

^ ^^ ^ ^ 1 4- 2? + 2^ + 2y9 4- 27*« + etc. '

A i-^-y^4-^^ + g"-^'^-g"4- etc.

^ '^ l+q + q' + q' + 7^^+q^+q'' + eic.'

La comparaison des valeurs de ^ ^k et \/^^k donne cette pr<^riété générale , qui mérite d'être remarquée :

(i+î+^-H*+?'* + etc. )* = (i+y-+y«+j"+^»'+etc.) (1+2^+2^44-2^94. etc.). On trouvera de mêiûé, par la comparaison des valeurs de ^V et |/A;', cette

équation ,

(i a^»4.a^— ii^>s4.etcO'=(i --2^+^--a9^ + etc.) (i +3;+sj44.2^4..elc.).

iSg. Supposons maintenant qu'on veuille calculer les valeurs de ç par le moyen du module donné A; et de son complément Jf'y nous prendrons pour cet effet, dans le tableau général, l'équation

I + 2^ + 2g»^ + 2^'* + etc. I + ^

Adoptant pour un moment la natation usitée dans la première échelle, nous' substituerons c h k et b k k^. ce qui donnera "7^i^/ == ' T" *\ ^ - ;

Donc

^(i + g' + g^-j^eic), ^y(i-b-\.

1 + a^ + 2^»« + a^'« + etc. *^ \i+W *^ '

Mettant y* à la place de ^, il faudra mettre ^^"^ à la place de €^ , parce qu'on avance ainsi d'un rang dans l'échelle c, c^, c^, etc. ; on aura donc

2g'(i+g'\+g^«r4-etc .) ^w^^ I + 2y* + 2y^* + 2^" + etc. •^

Avan^nt encore d'un rang^ on aura

I rf a^'« + fiq^ + eta — ^

ooo

Cela posé, on aura, aux quantités près de l'ordre ^^,

7 = 7 |/c^; et plus exactement, y = (i^2^) ^ ^/c?***.

On aura de même, aux quantités près de l'ordre ^*,

y'=T t/c"** j et plus exactement, y=:(i +^«) \/i|/c*^.

On aura encore, aux quantités près de l'ordre ^'*,

7* = ît/^**% et plus exactement, 7 =(i4-iy'*) V/îl/^'% ainsi de suite. Donc enfin, q est égal au dernier terme de la suite

ï t/c«^ V^t/^*'% vTi7^% \/i|/^*,etc.

Et parce que la suite r?««, c-% c*— , etc., est telle,, qu'au bout d'un très petit

DEUXIÈME SUPPLÉMENT. ii3

nombre de termes , on aura (5 c^)'= cf*+ % on voit que Vîl/c^ sera égal

à \/iy/c^+». On voit aussi que la valeur désignée par y s= v'j ^/o^, avant que a^ ait atteint la limite , sera eu erreur d'une quantité que l'on corrigera par la formule

m étant ^ ^•

La formule rigoureuse est

^^^^ I 4. 2^<- + 2p« + 2|7 6"» + elc. « »^ ^ '

<tf««

^ désignant le /t terme de la suite £?•, c*®, c*^, etc.

J^ous supposons toujours , pour la facilité des calculs d'approximation , que le module k o\xc est plus petit que son complément A*' ou h^ c'est-àdire qu'il est plus petit que sin 4^*- Alors la suite des modules c""^ (f*y (f'^y etc., calculée d'après les préceptes donnés dans le tome II, conduira

promptement au terme c'* qu'il est inutile de dépasser. On obtiendra donc ainsi la valeur de g avec tel degré d'approximation qu'on voudra.

i4o. La quantité q est exprimée, suivant les dénominations de l'ancienne

échelle, par e ^'^ ; changeant à la fois c en & et b en c^ et appelant r la

irF'c

nouvelle valeur de 7, savoir r=e *"**, ce qui donne log- log- sir'^r*, on aura semblablement

I + ar^» + ar*«^» + zr»^» -+- etc. • r >

en désignant par V le ¥ "' terme de la suite décroissante b\ b'^ 6'*, etc., et

supposant /issa'"^.

Et puisque dans la limite fixée , on peut supposer

^ = V.(îV/e^) etr=v'(f|/*'), ou «^=49- et*' = 4/-,

on aura

ce qui s'accorde avec l'équation de l'art. 80, tome I.

i4i- Si l'on désigne de nouveau par A*, A:*% A:*"^, etc., la suite des mo» TOM£ lil. i5

1 14 FONCTIONS ELUPTIQUES ,

dules décrcôssans qui se déduisent du module donné ky suivant la loi propre à la première échelle, nous supposerons, pour fixer les idées, que A:**** tient lieu de la limite , en sorte qu'on ait, d'une manière suffisammiftit

approchée , 7= i/ (^ i/*^-)= V/(^-

Cela posé, si A et A sont deux termes consécutifs d'une échelle doDt l'indice est rij on aura semblablement, ou même à plus forte raison,. • • •

9? = 1/ {-j) ; donc

(^^) T = Ct) •

Telle est l'équation algébrique très simple qui suppléera , au moins approximativement, à l'équation des modules pour l'indice n» En effet, si, du module donné A;, on veut déduire le module suivant A, on calculera d'abord k^^y ce qui se fera par de simples extractions de racines quarrées. k9^ étant

-j-J . Ensuite on trouvera le

module cherché h par les équations successives

on connaît d'ailleurs les moyens les plus simples d'appliquer à ces formule» le calcul logarithmique, pour obtenir plus promptement les résultats.

Il en serait de même si l'on voulait calculer le module kt qui précède A:, ce qui se ferait comme si l'on voulait déterminer k par h; et le degré d'exactitude de ces solutions pourra toujours être fixé à volonté , puisque

si la formule ^ = |/ -j- n'avait pas la précision suffisante , on pourrait

prendre l'une des suivantes, 9^= v/f-T—J, ^=y/f -7— J, etc., par lesquelles l'erreur est bientôt réduite au-dessous de toute limite donnée.

i42' On pourrait faire usage des formules (a3) pour déduire du module donné A;, ou de son complément k% la valeur de la fonction complète K, jusqu'à un degré de précision déterminé , sans connaître préalablement la valeur de ç. On trouverait, par exemple, en négligeant les quantités de l'ordre y',

et en négligeant seulement les quantités de l'ordre 7'*,

DEUXIÈME SUPPLÉMENT. ii5

K ssz -, ;

Mais plus ces formules acquièrent de précision, plus elles se rapprochent de la formule la plus simple de toutes , qui j dans les termes de l'ancienne échelle, est

de sorte qu'il devient inutile de pousser plus loin la recherche des formules d'approxiination. Nous saisirons seulement cette occasion de faire voir que la valeur de la foncti(m complète E'c, telle que nous l'avons donnée page i f 4 du tome I, est facile à déduire de celle de F'c.

£n eflfet, si l'on prend la différentielle logarithmique de la formule précédente, on aura

21/Ô 1 dy^ . c'^db

mais l'équation b^ = -^ donne t^x = % • IX"; ^® même on a. . . . .'

j^oo c^db^ db

^^=: j . ^p^ =s i {fic""^ . g^, etc. Le second membre de notre équation devient donc

et parce que — tt- = j; > on en déduit

^=si*H-c«(i — i c"— ic»c<^— etc.)=si — \<fc'{i + —+ -4 — h etc.). Cette quantité est ce que nous avons nommé L j ainsi l'on aura E'c=LF'c.

ii6

§ VI. Diverses propriétés des fonctions Q{q, x) et A{q, x)^

143. Ces fonctions^ qu'on peut considërer en elles-mêmes et sans aucim rapport aux fonctions elliptiques, ont été considérées jusqu'ici comme se rattachant, par leurs deux élémens ^ et or, à la fonction de première espèce F (A;, ^). La constante ç est une fonction du module k^ déterminée

5rr

par la formule q'=:e ^, ou Iog7 = — ^, K et K' étant les fonctions

complètes relatives aux modules complémentaires k el k' '^ la variable x est la même chose que l'arc circulaire désigné par O dans l'art. 69, tom. T; car, suivant cet article, la fonction F (A;, ç) est exprimée par la formule

F(A;, ^) = T7»*= — *} et d'autre part, nous avons supposé, dans les

tKx

calculs précédens, F(A:, ^) =

Pour développer les propriétés principales de ces deux fonctions, nous allons d'abord les considérer comme représentant les deux séries suivantes :

où l'on voit que les exposans de (jf sont, d'une part, les ^narrés des nombres naturels, et d'autre part, les quarrés des nombres impairs divisés par a* L'inspection de ces suites suffit pour établir les propriétés suivantes :

0x = 0(— ar),

Ax = — A( — x) , A (^ -f- x) = — Ax ,

et nous rappellerons ici les valeurs que prennent ces fonctions , dans les

trois cas x

j^TTj XSSZ^TT :

Ces expressions se rapportent à la quantité ç ou au module k-^ pour avoir

Aosso ,

les expressions analogues qui se rapportent à la quantité r ou au module l^y il suffirait de mettre A/ et R' à la. place de A; et R, et réciproquement.

i44* Si l'on met x^{ir au lieu de x^ ou aura, comme ci-dessus, les deux nouvelles formules :

A(î^+Jc) = 3y*cosar + 2q*^ cosox + 3çr * cos Sx -f- etc.

Maintenant, de ces quatre formules on en peut déduire plusieurs autres, où il conviendra de rétablir la désignation ©(çr, x) à la place de ©x, lorsque q ne sera pas la même constante, dans les diverses fonctions que Ton compare.

On aura d'abord l'équation

dans laquelle le second membre peut être représenté par ®[q^^ aar + ^-Tr), ce qui donne la formule

où l'on peut observer que le passage de la constante q sl q^ répond à celui du modulé k au niodule A., placé deux rangs après k dans l'échelle ky hy Â, • • • 9 dont l'indice est 2. Cette formule peut être misq sous ces deux autres formes

^^ 1 ©(y^fx— i7r) + 0(îSiji:+;7r)=::i©:9, x). Ainsi , on peut exprimer toute fonction ©{q , x) par deux autres fonctions semblables , où ^ est remplacé par q^ , et qui se rapportent par conséquent i un module A», supérieur de deax rangs au module A, dans l'échelle dont l'indice est a.