Les mêmes équations donnent

i©(7, ar+'ï'T) — J©(y, ^) = 37 cos 3X + 379 cos 60: + 27**cos 100:+ etc. Mais on a

A(y, x+79r)=5 2y^co8a: + 3y*cos3x + 27* cosSo: 4-elc.;

donc^

0(7^ ^+T^) — 0(7> ^) = 3A(9^, ax+i-îT),

équation qui peut être mise sous ces deux au(res formes :

ii8 FONCnOWS ELLIPTIQUES,

Ainsi la fonction A(^, x)^ rapportée au module k^ s^exprimera d'i manière linéaire, par deux fonctions rapportées au module k^. Une blable réduction peut être faite en sens inverse, pour les fonctions @^ au moyen de la formule

(3i) ©(y, ce) = ©(/, ^-ax)- A (^, î-acc)

146. U y a d'autres formules par lesquelles on peut déduire la foQCtioii A de k fonction © , et réciproquement, sans changer de module oa, eu conservant la même constante q.

En effet, on a les équations

t/(i -A- sin- (p) = (AO^ ^^^ ; d'où l'on lire

A'JC -I- A'A» (x + i W") = A©»JC ,

&x — kK*x = k!& (x + i *).

Ainsi la fonction © peut se déduire de A par la formule

(32) ©j: = / n A'j: + j A-Cx +iw)l; et réciproquement, A peut se déduire de G par la formule

(33) Ax = »/Q©»x-^©»(x4.i^)].

Une table calculée pour les^fonctions Q (^, at), selon les diverses ralaiin de 7 et de X, servirait donc à en former une semblable pour Jes fanctioiis A f 9, a:), et réciproquement.

Venons maintenant aux propriétés des mêmes fonctions , qui résultait de leur développement en une infinité de facteurs trinômes.

i47- Nous avons trouvé ci-dessus les formules

(9, x) = C(i— 2^cos2a:+9*) ( i— 29'cosm:+9*) ( i— 3y*co63Jt+y«*) etc. ,

A (9, x) = a9*C5inx(i — ay •cos2x-f^)(i— a/cosax-l-^^X' — a^'ccsaoc-f-^»») etc.;

où

* l'ona

DEUXlÈiME SUPPLÉMENT. 1 19

Chaque facteur de A (çr , x) , désigné par i — 2^'" cos 2X -f- 7^" , se décompose en deux autres 1 — 29" cos x + 7*", i + 2^ cos a: + T'"? de sorte qu'on aura

^' '^ lcOSï*(l+2jrC08JP + S'*)(ï+^3'*COS* + y^)(l+2jr'cOS«+^^)etC.;

mais en mettant ^* à la place de 9^^ et ^ x à la place de a; , on a

A^q^iiX)^=^C.^q*S^nix(^l'^2qco$x+q*)(l — !iq*oosx+q^)(^i — 2q^cosx+q^)etc.y

^(SfSÎ** — îX)=sC.2q^COSiX{l+2qOQSX'{^q*){l+2q^COSX + q^){l+7^q^COSX'{'q^)etC^

Donc

A (y, x) = ^. A (7^ ;|^x) A (7% isT — ^ j:).

La constante C est ce que devient G lorsque ç se change en ç^y ce qui change en même temps ky A/, K en A;,, k\y K, , A;, étant le module qui

précède k dans Téchelle dont Tindice est 2. On aura donc

C = q' *♦ r -i j ( :tkji! )% ou en substituant les valeurs K, = (i -f- A:) K ;

^ = T"^;^) = ^7 î = D. D'après cette valeur de D , on aura la

formule

(34) A(7,x) = DAC9^ix)A(7^i9r-ix)J on trouverait de la même manière

Les fonctions et A, qui se rapportent à la quantité q ou au module k^ peuvent donc être exprimées chacune par des fonctions semblables qui se

rapportent à la quantité r/*, ou au module k^ qui précède k dans l'échelle dont l'indice est 2,

i48. Pour parvenir à d'autres formules, prenons à volonté les fonctions F (A:, ^), F (A, 4) ®^ ï^ variables correspondantes a: et^, telles qu'on ait

^-5î = F(*,<p}, Î?I=FCA,4).

Désignons de plus par /4 et f les amplitudes qui satisfont aux équations

122 FONCTIONS ELUPTIQUES,

Au reste, on peut démontrer cette formule d'une manière directe, qui servira de vërification aux calculs précédens.

En effet, on a

A{q , x)=C.2^'^8iDx(i — a^*co8ax+^)(i — a^*cos2x+^')(i — a^^cosax+f'*) etc. , My^f x) = C2jrÏ8iiix(i — 2^coi2j>|-5r')(i— 2yHx)S2X+jr^)(i— a^'oosax+j* ) ete»

Et puisque tous les facteurs trinômes de A(ç , x) sont compris parmi les fiicteurs trinômes de A(^^, x), il s'ensuit qu'on aura

j^-^=g- g* • (i — ajcûsax + y»)(i — 2y3ço3ax+^«)(i — 2^ 008 ar +

Ainsi, pour que l'équation (38) ait lieu, il reste seulement à démontrer

qu'on a C = j, 7 ^ V » y ^ ^^^ ^'^^^ ^ ^"^ résulte des valeurs connues de C et C

i5i. D'autres combinaisons des formules déjà démontrées conduiraient à de nouvelles formules, dont Tapplication peut être utile. Prenons, par exemple, dans les art. 128 et 129, les deux formules

puisqu'on a sin^ = ,^^f^»i^ ? la substitution des valeurs précedentea donnera la nouvelle équation

Ac 2kiAlxeixA{{w + ix)e({w+ix) t>x A*ix ©•(->+ îr) + 0*lxA»O+ix)'

dans laquelle toutes les fonctions et A se rapportent à une même valeur de 7. Maintenant, pour réduire le numérateur du second membre mettons 7* à la place de 7, dans les équations (34) et (35); ces équations deviendront

A (^•,x) = D'A (q,{a:) A (7,i*-Jx) (7*,*) = D'0(7,ix)0(7,i,r^r),

(é\ m£ Mm S. ^^ f J en mettant A à la

place de A, ce qui donnera D'=5 f ? — ) *=/— ^/i' ^ *.

, DEUXIEBIE SUH>LÉMENT. 1 23

Multipliant ces deux équations, et observant qu'on a ©(J^ — t»^) = 0(i,x + ix) et A(^7r — ^a!:) = A(i9r+Jar), le produit sera

Mab par Téquatjbn (38) on a , en mettant q* à la place de ^ et A au lieu de ky

A {q*,x) (y-,a:) = (^i)' A (^,x) = (^^ A (y,^:); donc le second membre de Tëquation précédente se réduit à

Cela posé y Féquation que nous voulons réduire deviendra

mab par les équations (33) et (33), on a

Donc enfin si Ton fait C"= 0'o= [^ — j y on aura

équation dans laquelle les fonctions sont rapportées au même module ky ou à une même valeur de q. Cette équation serait utile dans la construction d'une table des fonctions Qx et hx y puisqu'elle servirait à déterminer la fonction ®x par deux autres fonctions rapportées à une variable plus petite \x.ll est possible aussi d'obtenir un semblable résultat pour les fonctions Kx.

\52. En efiet, si dans l'équation

COS (b:=:.(^\ Aa>+.r) i-taiig'i^ COS V^\j) —^ i + tang*i^ '

on substitue la valeur de tang g ^^ et qu'on ait égard au résultat précédent, on aura cette nouvelle formule,

combinant cette équation avec l'équation (3q) et avec l'équation (3a} mise

sous la forme

on voit la possibilité de calculer les fonctions 0a: et Ax par le moyen des fonctions 0^0: eï A^x. Ces formules résolvent donc assez simplement le problème de la duplication de la variable dans les fonctions &x et Ajt. Réciproquement, on pourra résoudre algébriquement le problème inverse^ qui consiste à déterminer 0^a:et A^o:, par le moyen des fonctions &a: et Ax: En effet , soit 0a: :=: a^ Ax^ b y A{j tt -^x) ^zCyOa déterminera c, au moyen de a et b, par l'équation (3a) , qui donne

Soit ensuite 0- =OetA- ^A^on aura les deux équations à résoudre

C'a = fl« — X*,

Ce (^y=fl.-^fl.A« + AS

ou en £iisaiit 6* = A*Z,

De là résulte

Z:=J!l±l^^'i^ etA^ =

a — v/ (a» — ir6*) Z-— i'

ainsi l'on connaît Z et X, et par conséquent aussi 6 = A^/Z.

]53. Il nous reste à déterminer les fonctions ®x et Ax pour de très petites valeurs de x.

Pour cela nous développerons les valeurs de 0x et de (j t -f- a:), en négligeant les quantités de l'ordre x^^ ce qui donnera

0a: = 00 + 4 «^^ (7 — 4^ + 97' — iG^'' + etc.) , ®{x + l7r)=: 0i9r — 4x* {q + 47^ + 979 4- iGç'^ + etc.)

Les suites qui multiplient ^x^ ne sont point comprises parmi celles qui ont été déjà sommées ; elles pourraient cependant se déduire des deux pre*mières formules du tableau (23), en les différentiant par rapport à q ; mais ou trouvera ci-après, § YII, les valeurs cherchées

DEUXIÈME SUPPLÉMENT. laS