i67'« + elc. = g (. -|) v

Donc, si jrest assez petit pour qu^on puisse uégliger les quantités de l'ordre x^y on aura

Pour avoir une semblable expression de Ax^ sans être obligé de sommer une suite que nous n'avons pas encore considérée , je reprends Féquation

— , d'od résulte Ax = k* 0x sin f. Mais on a Téquation •^-^ z=sT (kj <p)y dans laquelle la supposition d'une amplitude <p très petite donne — =<P (i + |A;»(p»)j de là résulte (p== ~ ( i — ^ k^r) — "ÏV 3?"^;' etsin(p = (p(i — ^(p*)=^-L.i — 5^ (i + k^) x*J.

Substituant cette valeur et celle de Qx dans l'équation Ax = A:* 0x sin ^, on aura

Ces formules supposent qu'on peut négliger les quantités de Tordre K^«r^, ou celles de l'ordre ^^ par rapport à l'unité. Ainsi, si l'on veut qu'elles donnent dans les valeurs numériques dix figures exactes, il Ëiudra que ^ n'excède pas lo' 53", ou que la fonction F(A;, ^) n'excède pas yf^ de la fonction complète K.

1 54* Considérons encore la formule

©x = C(i — 27cos2JC-f-y*)(i — 2q^cQ^2x+q^[\ — 29*cosaar-|-y'*)etc,,

dans laquelle le second membre est composé d'une infinité de facteurs de la forme i — 29^" cos 2X + ^•", m étant un terme quelconque de la suite 1,5,5, 7, etc.

On sait que la quantité 1 -— aa cos 2X -f- a' peut être regardée comme l'un des n facteurs qui divisent la quantité i — - :ki' cos aux ^ a^"« Ces n facteurs sont

I — aa cos 2X + a%

1 — 2a cos (2X + — j + a\

> I — 2û cos r^or-f- — j + û',

I — 2^2 cos Tajr + ?^ — ^ ^J+ a'.

Si donc on fait le produit des /} fonctions

ce produit sera égal à

C*(l — 39'C0S2/ïa>-|-9*") ( ^ — 2Ç^*COS2nX+q^') (l— 29*'C0SaiM>4-y*^) etC.

Or, /i étant un nombre impair à volonté, si Ton suppose que h est- le mo* dule qui suit k dans l'échelle dont l'indice est 72, la quantité qui est ç pour le module ky sera 9" pour le module h y et la fonction (q% nx) sera ainsi exprimée

C étant ce que devient C lorsque k se change en A et ^ en q*. On aura donc la formule générale

on aurait de même

car la démonstration relative à cette seconde formule ne difiere de la pré* cédente qu'à raison du facteur 2 sin x qui se trouve dans A (7, x). Or, en vertu de la formule connue

:2"sinxsin fx'^-JsmCx'^—j. .. sm(x + ^^^ ?rjz=z2b\n¥Uic ^

la loi du produit général sera toujours la même.

i55. Maintenant nous avons la formule A'^sin ^^— *J = ^.^* *| , dont l'applicatiou répétée n fois donnera

Or, il résulte des formules précédentes que le second membre se réduit à A(»^ y ^ ^' ^* même chose que A* sin -<df \J~'\ Donc, on aura enfin

(43) ,i„^(îfi:îHT)-'^(^"»^(^+v) •-<*+— *>

formule qui s^accorde avec celle du n"" lo du l" Supplément, et d'où Pou déduirait aisément l'équation des amplitudes marquée (Sa) dans ce même

Supplément. Une semblable analyse , appliquée à la valeur de cos ^ ( — ^ j

^=(jr) r^** ", conduirait à l'équation des amplitudes marquée (34).

Nous remarquerons ici que c'est par l'application des -formules du théorème II que nous sommes parvenus à exprimer les fonctions trigonométriques de l'amplitude par le moyen des deux fonctions @(q^x)y A (^,a:), et que réciproquement les propriétés de ces fonctions nous conduisent aux formules principales du théorème I. Nous obtenons' ainsi une confirmation très satisfaisante des deux théorèmes généraux qui renferment toute la théorie de la transformation des fonctions elliptiques de la première espèce.

§ Vil. Noxwelle formule reîatipe aux fonctions elltpiiçues

de la seconde espèce.

1 56. Nous avons fait voir que les fonctions Qx et hx donnent les moyens d'eiprimer les fondions trigonomélriques de l'amplitude qui répondent à

une fonction donnée F^ ^ — ; ces mêmes fonctions vont nous fimmir des

formules nouvelles pour eiprimer les fonctions de la seconde espèce , et même celles de la troisième.

Reprenons pour cet eflTet l'équation A^ = {ky ^ f ^ dont la diffî^

rentielle logarithmique est

I — A* sin» çT 5» © (« + î ») ©* ^

si l'on y substitue la valeur ^ = — ^^9 qui résulte de l'équadon F^ =s

on aura

2K t* sin^ co s^ de (jp + î^) fltex

Soit TÇ une seconde fonction telle, qu'on ait

on aura, par les propriétés connues j

E«A; + E(p - EC = *• "D ? «n Ç = ^liiî^^;

et si Ton fait £ = ^ , E' désignant la fonction complète E'A: , on déduira de ces deux équations ,

Combinant ensuite ce résultat avec celui qu'a donné la diflërentiation, oa trouve l'équation

dans laquelle il importe de remarquer que les deux membres sont des fonctions semblables, l'une de x, l'autre dear + j'^r.

DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 1 2g

Nous conclurons de là c|ue chaque membre est une quantité constante (*); 'et comme le premier membre s'évanouit en faisant x=o, et parsuite^ ^=o> nous aurons généralement

(AA^ — fE(P rFm^ — ^^^ — 4y »'" ^^ — 87^ sin 4r + ' ay^ sîn 6x — etc. ^^^-^ sr ^ '^ ^' exc/x I— 3jroo8ar-f-2^^co84i^— a^9o(is6x-4<etc. '

formule qui servira a déterminer la fonction de seconde espèce Ef^ nu

moyen de la fonction de première espèce Ff c=

ÎT »

de sorte qu'on aura cette expression de Ë<p en fonction de Xj

^/^^ F>f»— F» ^«L-^*' ^ rin air — ay^ sîn 4jg + 3y9 sin 6jp — etc.

\H ) 1^— "î*- •"!. * i — agrcosax-f-a^^cos^x — ag^cosGx -f- etc.*

On peut aussi remarquer que , dans cette formule^ Parc x est la même clioi^e que la limite désignée par ^ (n* 69, tome 1) des arcs —, ^, ^-y etc.

i57« Si l'on suppose âr infiniment petit, ce qui donne Ef s= ^ = ^ — , on aura

K * I -. 2^ -f. a^ — agr» + etc. '

et en substituant la valeur connue du dénominateur du second membre, on obtient la somme d'une nouvelle suite fort remarquable, savoir,

(46) ^-494+9^,69.»+a5^*»-elc. = 5i^=l512^(îH);

c'est ce qu'on trouverait également en différentiant par rapport à ^ la seconde des formules du tableau donné ci-dessus, n* aS.

La même formule peut encore se vérifier en substituant dans le second membre les valeurs des fonctions complètes E* et K , développées suivant les puissances de l? dans les formules de l'art. 48, tome I. On trouverait ^ ainsi , en négligeant seulement les quantités de l'ordre ^,

ce qui est la vraie valeur de ^.

Enfin, la même équation peut être vérifiée jusqu'à la douzième déci* maie, pour le cas ^module AL=sin I^S^^^m moyen des valeurs connues

O Voj** le $ XI, «& celle conclusion est rigoareaiement démontrée. Tome 111. >7

l3o FONCTIONS ELLIPTIQUES,

(fzsze ylogKss 0.2681:1 72324 1^9 ^t ^ — E' =o.5o343o7^a 53. i58. Soit Fo* la fonction qui sert de complément à F^, en sorte qu'on

ait F^ -f-Fo" = F'^, ou , qu'en faisant Fo" = ?-^, on ait x -(-y = s ^- E» verta de cette supposition , ou aura

E(p H- Etr ==== E« + *• sin? sina === E» + *.lî^^

mais, d'après la valeur^ = ^ ^ — x , on aura

p, ^^^p,, \w — X , 2îr y sîn 24P + 2^ sin 4^^ + 3y» rin 6g 4" ^tc.

donc , en ajoutant t^es deux équations , et réduisant , on aura la formule sui vante, qui coïncide avec celle que donne immédiatement la diffSrentiatiou (art. i56):

2ir g sin 2X — 2<y< sin /^x + iq9 sîn 6g — etc.

Soit X infiniment petit , le premier membre se réduira a h^ ou Af • et en divisant de part et d'autre par jr.nx^ on aura

a»*" 1 —29 + 29^ — 299 -f-«lc. "*" t+29 + 2fH--^^+etG. '

La première partie du second membre =s-3(K.—£');donc^.on a la nouvelle formule

? + 4</^-f9<y^+'6^" + etc. ^ K .p, -^^-ç.

1+217 + 2^* + 217» + etc. — 2ir»^ '^^J^

ou eu substituant , au lieu du dénominateur , sa valeur t / — 1

(48) 7+4y*+97*+»^^"+elc. = ^(E'-A"K) y/'î^.

On obtiendrait ce même résultat, en diflSsrentiant, par rapport à A:, la première formule du tableau (23).

lâg. Soit ^ une amplitude qui satisfasse à l'équatîou F%|/ = sF^, on aura

atç — li+ = Ar sin'f sin >L =5 r > - ' 7 ' ■

]>£tJXIÈMË SUPFLÊMSDVC. 1 3 1

Quaot à la valeur de E4 y clk se déduit de celle de E^ de Péquatiou (45), en mettanl dans le second membre. 20: à la plaiPe.de xy on aura dpnc

K' I— a^co82X-f-a^*cos4x— a3r9cos6r+.*Qbp..

air <78in4jp-*2<7*8in8rr{-3(7>iiniar— etc.

S.' I -^ ai{<aot4sH^2if^Qa88r*-<^a^8cof'i4:ix*-{»^t€« *

Multipliant d'un côté par ^, de l'autre côté pac H^rf, ^ et intégrant ,

on aura

log A' — Ic^ (i — A^sia.*^) = 4log €te — log 02X , ou

QixÇl — jt» sim^ ^^ — A'02x,

On détermineca la constante A' en faisant ^=0 et orsso, ce qui donne

Cette formule apprend déjà tpm si l'o» peut négliger sin^^ par rapport a l'unité, on aura d\ine vanière très approchée Q^x=:A^&2Xy ce qui donne ua moyen tr^ simpld de déduise Qx de Oax , eu Qor de Qx , lûcsqjoa x est très petiL

Si ensuite on substitue, au lieu desin^, sav^léurrrj' —, on aura l'é--

quation A'Qaxss€Kx — ASx^ q/jx s'accorde avec bt focnu^s (Sg) d^à trouvée.

i6o. La fimclion Qx étant dé^cloi^pée en factewa trûiQiB}e&^ comme il suit ,

(Jejc) ^^^ /jq rip ax , 4?^8inaj . 4 ^8inaj ,

exdx ""^ 1*— a9oo8ax4*9^ *^ t-^a^cw û -J-^ "^ t^a^ça«ajr-f-<y'*"T^ ' ^

mais par une formule connue j on a

donc, le second membre de l'équation précédente peut se développer ainsi :

3» FONCTIONS ÉLUPTÏQUES^,

fyl 8În 2X + 47* sîn ^x + 4^* sin &r + 4^ sin 8« -f- etc. + 4^'^^'^^^ + 47**^^4^ + 47*sin&r + 47**"°8jc -4- etc.

«f- 4?**^^ ^^ H" 49**^4^ + 4?**^^ "H 47^^^^ H~ etc.

etc.,

et si l'on &it une somme de phacjue Tigne verticale, cette ({oantitë de* viendra

-^2« sin ax 4^ -3^ sln 4^ + ^^^ j^^sin&c+elc, j

donc enfin , réquation (45) pourra s'écrire ainsi :

(49) E4>=î51x+^(^.8mM:+^8m4«+i^«in6«-|-cte.),

Si l'on faitx infiniment petit, ce qui donne £^ = ^=:-— , on aar» la formule

qui servira à calculer la fonction complète £% par le moyen des fonctions de première espèce K et K', avec lesquelles on peut déterminer 4f. On déduit de là la somme de la suite

Dans le cas de xsj? ^ donne Ff s-K, on a, par deux expreasions différentes,

=»=iE-+K;^-;^+4-„-..c.),

Mais alors on sait que E^ = JE' +-7 (1 — A^); donc

L'égalité des deux suites contenues dans cette double équation se démontre en développant chaque terme du premier membre en une série horizontale, puis sommant les lignes verticales d'où résulteront les termes successif du second membre.