i l'on diffërentie la formule (49) > on en déduira

DEUXIÈME SUPPLÉMENT. i33

(5.) x A.sin-^=|+^(i^ + î2;^^4-^?^+etc.)

Le cas de ^ = o a déjà donné un résultat au moyen duquel cette cqua* lion peut se réduire à la forme

(53) sin'ç:=^,(^,^y^+'^^ + eic),

nouvelle expression assez élégante /qui peut servir k déterminer Pamplitude par la fonction.

En supposant ^ infiniment petit , on tire de cette formule la somme d'une nouvelle série, savoir,

(54) ,-éï.+^+^ + .-^ + «o.=^,

la même somme a lieu,, d'après le tableau .(!i3), pour la série qui résulte du développement de

^i -f- y' + y* + y* H- 7'* + elc,)*.

Ainsi ces deux fonctions de ^doivent être identiques, et l'on peut dire de combien de manières un nombre donné N sera la somme de 8 nombres triangulaires. Si le nombre N -f* i <-'St premier , le nombre de combinaisons dont il s'agit sera (N-f* i)' -f- !•

163. Si dans la même équation on fait tp^s^TTy et par suite a:=;^9r, on aura la formule remarquable

^^^J i — q^ ^ , —^ "T , ^.o ^- , ç,4 -t- etc. ^.

Et comme le second membre est aussi l'expression 4^ la puissance. # • . • .

(y*-f- y* -f- y'T -j- ^ 4 -|- etc.y, suivant 1 une des équations (aS), il s'ensuit qu'on a l'équation identique

ri^+rï^ +T^«+7^4 + «t«- == (9* + 9*+r +r + etc./ ; OU , en mettant ^ à la place de 7 (*), •

(56) ïè + 7?S+ S-- + ï^ +«»*'•=' (^'^ 9'+ y-+ ^'H- etc.^

(*) Il snît immédiatement de cette formule ^qae tout nombre 8/» -f* 4 est la somme de quatre carrés impairs , et de plus, qu'il est autant de fois de cette forme qu'il j a d'unités dans la somme des diviseurs de a» + 1. De U on conclut aisément que tput

i3i FO^CTÏOWS ELUFTIQUES

iLiiliii , !ii (]jn> rê<|twtii>n (5a) OD suppeie ■X^îir , on aura les n^sultats soiraDs :

Iji l>remi<riv de o» Àiiutîous étant soustraite de rêi|uatîoo (55) , doiuwra ent-ore ce résultat

l.'<\(ujitk>n ^55} trans{vrtee au moduW h cyû suit A, et pour lequel ^ de- 1 K-ut <)>' Jjiu$ rôrbetle dMtt fiwfice eit a , éoamrt»

et M l'ou svM»trait de celle^-i U sevocde de» êvitutioia (57}t «b nna

YmU de iMuv«<Kti eiemples «joutes à hniuAMip d''aaircs, qâ fD m e u t t^'on peut AMiater, * {"jiHt des ïocctioos <Ilipl«)nef, ua gnad aavke de suite» xfui ïvrkieut t:«s dill:cil«f À jccuner p^r d'autres moxta^ On ■■'r«tt e«KVCY l'Or U .Sdëreututioa de i —i^su^'t. «(te fiicaak

,s.' L.ii,^«,.=ïjj..r.

■bM^H^MV^Mk «^ Mn^t «wK. fi^cin *a miins jjnrjiv. WiiifTli

<#■■ • ^» t* «Ml ii i wt n X 4M k «ma» «V |«u^v

DEUXIÈME SUPPLEMENT. i35

assez oompliquëes , surtoat si le modale est très peu diffërem de rimité. Celles que nous a^ons données ci-dessus., »spus les n"" 4^ et 49 » seront préférables dans beaucoup de cas, à cause de la loi très simple qui règne dans les diiSerens termes de ces formules.

EUes supposent quV>n connaît les fonctions complètes K et E^-ouF^Jk et E'ft, et de plus la quantité tq, pour laquelle il faudrait dresser ime table partiouli^e, comme on en a une des fonctions complètes, afin qu'étant donné le module ou seulement l'angle du module y on puisse trouver dans cette table la valeur correspondante de q^ ou seulement son logarithme.

Avec ces préliminaires^ si l'on prend pour a: la valeur ar = -. ■ J y

déduite de la fonction donnée F (A, ^)^, ou, ce qui revient au même, si l'on

&it X égal à la limite de la auite ^, ïj-, V-., etc. , -oalcul^e «selo» la raé-

thfide ordinnre d!ap|>roximalion iippliquéeji. la fonction F (A;, 9); la valeur de E<p pourra se calculer , avec tel degré d'approximation qu'on voudra , par l'une ou l'autre des formules citées, savoir :

Îp, X 1711.^*" Ç *'P ^^ —touf^ sin é^x + 3y> ain Sx —etc. ^

^ J-ir "'^ K ' I «- 2^ 008 2« + ^^ C08 4* •— ajrs CO8 6x -f- etc. * Eç) = ^ E« 4- Ç (jép ^ ^^ + ré^i *^ 4^ +• ^^^sin&c+elc).

Lorsque k = sin 45% on a y < ^; lorsque A: = sin 8o*, on a ^ < :^'^. Ainsi, dans ce dernier cas, la pctxnière formule peut encore donner dix décimales exactes , sans aller au-delà des termes affectés de ^', ce qui suppose qu'on rejette seulement les termes affectés de q*^.

164* Nous reàiarquerons ici que si l'on a une équation quelconque entre les élémens^et^., qui servait à composer 'les fonctions F.(A;,.^), et les élémens q et â:*qùi servent a composer le»tbnetions ^@ (^, or), A (^, x) , on peut,. dans cette «équation, 'changer .A; et .9 en k? et f% pourvu qu'on change en même temps q en q^ et x en 2X. On obtiendra ainsi d'une manière très simple jane transformée qui se, rapporte aux élémens k^ et ^* de la fonction F (%*, ^®), comme l'équation donnée 9e rapporte aux élémens A: et ^ de la fonction F(A:,.^). On obtiendrait ^e même une seconde transformée si l'on changeait k9 et,^* en à^ et ^^, ^t si en même temps on mettait q* à la place de 9 , et :ix à la place de x. Cette troisième équa^ tion pourrait aussi se déduire immédiatement tie la -première «en -mettant tout d'un coup kf^j (ff^y ^, 4^, à la place de ^, f , ^, â>, respectivement.

Et l'on voit que la série de ces équations peut être prolongée à l'infini , sans qu'il y ait aucun calcul* & faire pour leur formation successive.

i36 FONCTIONS ELLlFflQUES,

Comme le but de ces transformations est de déterminer la valeur uppn* chëe de la fonction £(^, ç)y ou de toute autre fonction contenue' dabs ' l'équation primitive , il faut supposer que la nature de la question fournira dans chaque cas les relations nécessaires pour que la fonction propoéëe puisse se déduire facilement de l'une quelconque de ses transformées successives ; c'est ce que nous allons faire voir dans le cas de la fonction E^.

i65. Appelons G (A, ^) la fonction complexe E (A, ci) — fF (ifc, ^) , où

l'on a € = ^; lorsque k ei ^ se changeront en A^ et ^% cette fonction deviendra G{ffy r) = E (A:*, ri— ^ F {ffy r) , €• étant mis pour £^.

Nous suivons ici les dénominations usitées dans l'ancienne échelle pour designer les modules décroissans ky IC^ k^y If'^y etc., et les amplitudes croissantes 9, 9*9 r^y r^^'y etc. On a vu que x est égal à la limite de la suite

— , Vt ^* etc.; de même ^ serait la limite de la suite —, ^7-« etc..

ce qui prouve qu'on a a:* = ax.

Soit maintenant ©'(y, x)z=z ^^'\ ou

& {qyX)s=i^q%\xï 20: — 8^sin 4^-(- i a^* sin 6x — etc. y l'équation (44) «^ra ainsi représentée

et d'après l'observation contenue dans l'article précédent , on en déduira cette série de transformées

i66. Pour avoir la relation entre G(A;, ç) et G (A:®, ^), il faut recourir nn:i formules connues

(i4.A«)E(A:,(p)=E(A«,(p-)-i(i-A-0F(A-,(pO + A:-sinÇ% (i + *•) E'A: = aE'A* — (i — A:*') F'A:% F(A,^) = Ki+A«)F(*^,r),

d'où l'on tire ces deux équations

(i + A») G (A, ?) = G {h, p') + A* Mil r-

Pour simplifier la première , soit 4^= i '^^k^p^ et par coDsëquent r>= i — h^ff^ on aura

d'où résulte

et par conséquent

« = ,*. (1+^ + !!*!: 4- *!*!p H- etc.).

Cette valeur de € s'accorde avec celle qu'on a trouvée pour la quantité L , art. 90, tome I; et en effet, ces deux quantités représentent également le

«•apport plj.

167. Maintenant y comme on a R^(i-f-^*)^% l'équation entre G(kyP) et G (A:% ^) pourra être écrite ainsi :

KG(A,ç)s=5K*G(A:,^*)H-K**-8inÇ%

et il en résulte immédiatement

KG (A; , (p) = K***^ sin (?• H- K**A** sin (?•• H- K*«*A^ sin ^••^ -f etc.

De sorte que la fonction G {k^ ^) est exprimée par une suite infinie très convergente, et qui se réduira toujours à un très petit nombre de termes, à moins que le module k ne soit extrêmement peu différent de l'unité. Il est facile au reste de s'assurer que cette formule pour déterminer la fonction E (A: , ç)y ne diffère pas de celle que nous avons donnée art. go, tome I.

Ce n'est que dans les cas particuliers qu'on pourra décider laquelle des deux valeurs de G(A, ^), données par l'équation (44) et par l'équation précédente, mérite la préférence pour en tirer plus facilement un certain degré d'approximation. L'usage de l'une et de l'autre deviendra de moins en moins avantageux , à mesure que le module k se rapprochera davantage de l'unité; alors on pourra recourir aux formules que nous avons données dans le chapitre IX, tome II.

Tou III. 18

t38 FONCTIONS ELLIPTIQUES,

C YIII. Nouvelle expression de la fonction de troisième

à paramètre logarithmique (*).

i68. Soit maintenant 2Îi==Ff et —^ =s Fa ; soit , de plus,

^ (x — «) = Fç— F« = F(p', ^(x + a)=zT^ + Fa = Vfi

on aura d'abord ^ en considérant a comme constant.

2Kdx dp dp^ ^^ ^P' .

dBx ikKdx

ensuite, l'application de la formule -—^^si (Ef—cF^), où ccs^ t

donnera les deux équations

e(x — a) <{6(x + a) nKdx

d'où l'on tire

e(x — a) e(x4-a) a^^^ ^ -rrr/

is 1«8 propriétés des fimctions donnent les équations

F^'H-F*— Fç = o, Efi'-I-E* — E^ = k' sin a sin ^ sin ^ % F^ H-Fa— .F(p'=o, Eç-f-E« — E^"= Afsinasin^sin^",

d'oii résaltenk les difiTërences F^"— F^ = aFa, E^"— E(p' = 2E« — *«sinflt sin ^) (sin ^' + sin ^") ;

d'ailleurs on a, entre les amplitudes, ces équations :

(*) Noos appeloDS, pour abréger, fonction à paramètre logarithmique la fonciioQ de troisième espèce dont le paramètre est — k*ain*m, k étant le module. On sait que ces fonctions diffèrent essentiellement de celles de la même espèce dont le paramitrv est ou peut être ramené a la forme — i -f-^'*sin*«, k' étant le complément d« k. Ces dernières defront être appelées fonclionê^à paramètre circulaire.

DEUXIÈME SUPPLÉAIENT. 1 3g

sin ^' s= — ^ nr-^-ï — î-i — ^-^>

./ sîn 9 cos «A« + sin m c(M^/k# sin ^ ' = T.— ^^ — r- , ,

sin ç + sin ® ' s= . , . , - . ,^ ;

donc, en faisant les substitutions, on aura Péquation diiTérentielle

£fe(x — a) JB(x-(-a) d^ /2A*Bin*^sÎD«cos«A« 17 i 1? \

e(x — a) e(x + a) ûp \ I — «•8in*«5in*^ ' / '

dont l'intégrale est (64) cot*A«[n(*, ^)-F^] + (<F«— E«)F(p=ilog l^^y

en désignant par n(a, çl) la fonction de troisième ^P^^/TTZIiSiJîSîTîlSi'

dont le paramètre est —k* sin* et. On n'a point ajouté de constante, parce que les deux membres s'évanouissent lorsque ^=50. Us s'évanouissent aussi lorsque «ssso; car en supposant a infiniment petit, la quantité

n(a,^)— -F^ se réduit à A:*sin*a / - ^ ^ i «on produit, par cotaAtf,

ou simplement par cot cl , est donc A:* sin cl cos et f -^— , quantité qui

s'évanouit lorsque asao*

169. Nous obtenons ainsi un résultat très remarquable, qui nous permet de déterminer la fonction de troisième espèce n(eL , (ft) , dans le cas du paramètre logarithmique, par la fonction de première espèce F^ , et par la fonction 0(7, ^), qui ne dépend que de deux quantités q et x. ^Comme la fonction &x est une fonction paire de a:, on a Oâ;s=0( — x^j et par conséquent 0(a — or) ss G^x^^a). On peut donc cbanger a en x et x en a dans notre équaticMi générale , et le second membre restera le même. De là résulte l'équatidn

[P^) \ ::= cot^A(p[n(<p, et) — F«] — E^F«,

qui s'accorde avec celle du n* ii5, tom. V% et au moyen de laquelle on peut réduire l'une à l'autre les deux fonctions n(a, 9), n(9, a). ' Cette équation I appliquée au cas de f =s(S, ne détermine pas la fonction n(«, a); mais en feisant 9 = a dans Téquatiep (64)9 on trouve, pour ce cas particulier, la formule

i4o FONCTIONS ELLIPTIQUES,

icot eiAa[n(a, a) — Fa] -f- F<t C<Pa— Es)

Si, dans l'équation (64) > on &it f =j7r et xs^^r, afin de détemaiiar k fonction complète ri'a, ou TI*(ky a), on aura

cot «A«(n'« — F') 4- E'F« — F'Ea = 1 log •— (.

Mais on a en général T- — a j = ^- -f* ^}> donc^ le second memlNne de cette équation se réduit à zéro, et l'on a simplement

(67) n'a = P4-^(F'Ea — E'F«),

ce qui est la formule du n* 116, tom. I*'.

170. Supposons en général F^ =1 — K , ou x = — . -, — étant vum bmc^

tion rationnelle à volonté; on aura II (a, f ) = ^ IT'a-f'WyW étant une

fonction qui doit pouvoir s'exprimer en logarithmes. Substituant cet iFaleura dans l'équation (64) > on aura

oot aà» (^ n'a+ W^ + ((Fa — Ea ~ cot aàet) ^ K

= -:iog-

mais on a n' « = F* 4- ^^^ (F'E« — E'F«); donc

formule qui pourra servir dans beaucoup de cas à déterminer la fonction Soit), par exemple, — = ^; dans ce cas, on a

^^"^ ^ = 7JT+P)' ^^^ ^ ~ ^^' ^* = *^*''

et la formule de l'arL 117, tome I, donne

deuxièkië: supplément. 141

%Ki ttcùg» , ù» —{t—h')nn<tcoa» .

""~lSr °8 ùm +(t— A')8in«coi«'

donc on a généralement

ff^y. \.4 / / Ao — (i — h') »în« co8«Y

^ ' ^/» . \ ~" \ A- + (!—*') lin» co»-/*

Cette formule fera connaître la fonction ® Q + a} par le moyen de la fonction r~ — a\ Si Ton veut donc construire une table des fonctions &x pour

une valeur donnée de ^ ou de ^ , il sufl^ de calculer cette table depuis x:=o jusqu'à x=4^®, et on la continuera facilement depuis ^= 45* jusqu'à X = 90®, qui est la limite de la table; car, au-delà de ce terme, on a

On pourrait trouver semblablement une expression de qui

permettrait de calculer © (g + ^J P^^** ï® moyen de ©Tg — a\ de sorte que

la table de cette fonction étant formée jusqu'à x = ^^^iy on pourrait la continuer jusqu'à Xz=z 45*, et ensuite, par la première formule, jusqu'à X = 90*.

171. Cette table serait très utile dans la théorie des fonctions elliptiques^ puisque, avec son secours, on pourrait calculer la valeur de toute fonction, de troisième espèce n(/», A:,^), dont le paramètre /»= — A:* sin* ee. En effet, connaissant les trois élémens k^ «, f , on pourra d'abord chercher,

par la table des fonctions F, les valeurs a =3 — F(A:, «), a: s= -= F (A:, f ) ;

on cherchera ensuite, d'après le module ky la valeur de la quantité y, ce qui se fera par une table particulière dressée pour cet objet. Enfin , la table des fonctions @(çy x) fera connaître les fonctions ©(x — a) et ®(x^a) qui répondeiil à la valeur de ç. Ainsi , en ajoutant seulement aux tables qu'on possède, la table des fonctions© et une table auxiliaire pour calculer ' q au moyen du module , on sera en état d'évaluer toute fpnction donnée de troisième espèce, à paramètre logarithmique; de sorte que cette fonction, qui dépend en général de trob quantités , pourra être calculée par des tables qui n'en contiennent que deux. M. Jacobi est le premier qui ait remarqué cette

belle propriélë que Fusage des fonctions 0^ dont il est Tinventeur, lui a ikit découvrir dans jes fonctions elliptiques de troisième espèce k paramétre logarithmique. Il a annoncé en même temps que la même propriété pourrait anaaî s'appliquer aux fonctions à paramètre circulaire^ ce qui serait un trâs grand perfectionnement de la théorie des fonctions elliptiques ^ puisque la détermination numérique de ces fonctions ne dépendrait, dans tous les cas, que d'un petit nombre de tables & double entrée , dont les principales sont dlëjà calculées. Mais, jusqu'à présent, les tentatives que j'ai faites pour étendre aux fonctions à paramètre circulaire, la propriété qui est démontrée pour les fonctions à paramètre logarithmique , sont restées sans succéa. Ainsi nous devons suspendre notre jugement sur ce point, jusqu'à ce que M. Jaoobi fiisse connaître les formules par lesquelles il pourrait justifier son aaserlion.

Dans le cas où il serait bien constaté que les fonctions à paramètre âr^ culaire ne sont pas susceptibles de la réduction qui a lieu pour les fonction» à paramètre logarithmique, il faudrait admettre que- les fonctions à para* mètre circulaire constituent une quatrième espèce de fonctions elliptiques plus composée que les trois autres , et qui ne peut se simplifier que pour des valeurs du paramètre , caractérisée par un symptôme général ; mais alors elles se réduisent toujours à la première espèce, et ne peuvent plus être rangée» dans la quatrième.

$ IX^ application de la même formule aux Jonctions

à paramètre circulaire.

173. Reprenons Péquation (65) en joignant aux fonctioni l'indication du paramètre, du module et de l'amplitude, nous aurons la formule

cotaA(*,a)[n(— A*sin*a,A:,^) — F(A:,(p)]— E(A,a)F(A,(p) == cot (pA (A, (p)[n(— A;'sin*(p, A, ce) — F (*, flt)] — E(A, (p) F(A:, a).

Sapposons ensuite siaetssi tang C, i désignant V^— i ; on aura successivement co8« = ^, A {i, tt) = |/(i + k* tang' €) = ^^^,

'=^t* = rib' r^ = r^» F (i, «) = îf (*', ^) , £(*,«)

4- tang CA (A*, €)], n (— *• sin* «, A, (p) =* n (/f tang' g, A;, (p), et enfin

k* «in* 9 sin* md*

n (— *• sin» ^, A, «) — F (*, «) =/(7z:

•■/cr

[+lr»8m*^ tang-C) û (ifr', C)

Substituant ces valeurs dans Féqualion que nous voulions transformer, nous aurons le résultat suivant :

j^^ [n (*• tang- 5, *. f») - «>•• CF (A, ♦)]

(69) j*l«nf^[n(-i4-*-8in'<p,A',f)-F(A',C)]

= E (A, '<p) F (A', €) H- E C*', C) F (A, <p) - FCA:, ç) F (Â^, tf).

Cette formule permet de réduire la fonction dont le paramétre est h tang* € , le module k et Fampli tilde ^, f( une autre fonction de même espèce, dont les élémens semblables sont — i -{- A;* sin* (p , A;', C ; et quoique les paramètres soient différemment exprimés, ils appartiennent néanmoins à la même forme dite circulaire.

Uéquation i l|K]uelle nous venons de parvenir par une analyse assez dé- Jicate, fondée sur des substitutioiis imaginaires, s'accorde entièrement avec

DEUXIÈME SLPPLÉMEWT. 1 45

duire Pune à l'autre les deux fonctions n(— i +A'*8in*«, ky ç) ^ n( — i-f-A*sîi^*9) ^9 a); de sorte qu'on peut échanger entre eux les angles a et ^, pourvu que les modules complémentaires k et h! soient aussi échangés entre eux. C'est la même propriété qu'oGPre l'équatîon {!) du chap. XXIII, tom. I*'; car la fonction n( — i +/r'sin'^, h\ ai) pourrait être exprimée par n(col*^, k^ a) y en même temp^ que^ la fonction n( — i-f-^'sin^a, ky ^) le serait par n(cot'a, A;, ^), et alors l'équation (73) coïnciderait avec l'équation (i').

175. Introduisons maintenant dans les deux membres de l'équation (64) la même substitution imaginaire que nous avons appliquée à Téquation (65). Par les résultats déjà trouvés, le premier membre, multiplié par i^ deviendra

^^çtnC*- tang- €, k, <p) - cos- €Fik, <?)]

-|.[F(A', 0- IfFC*', Cj-EC**, C)]F(A, f).

Quant au second membre, qu'il faut aussi multiplier par 1, il aura pour développement

£ I 1 1— 2^ cos lur cos 2a -f- 2^ cos 4« cos 4^' — etc. ) a ^ \ -^ a^ sin a« sia 2a -f- 2q^ sin 4'>sin 4a ■— etc. / £ « r I— 2^ cos 2« cos aa + a^^ cos 4* cos /^a -» etc. ) a ^l -f" ^S^ sin ax sia aa — 2^^ sin 4^ sin 4a + etc. /*

Mais en faisant 5= F(Aï', tf), l'équation F(A, a) = tF(A', 6) donne.

a= '^6i par oonséquent, acosaa = e 1^ 4-e^ =^ *^gw ^ asinaa

^ *"-— 9*" /. On aura des valeurs semblables pour 2COs4â, asin 4a, etc. ; ensuite , faisant

y ••-fyV-ty*oos4«\y *+yV— f*cos6flf\jr •'+y»/+etc.,

(—2* aAV /«é* <*\ /— £* ^\

g •"— jrV— ^•în44p\jr •"— ^*/+y«8in6af\y •^ ^r*/— etc.,

on aura

ilog0(x-a)=Mog(P-»Q),

iloge(x+a) = i|og(P + «î);

donc