SUPPLÉMENT

Changeons dans cette formule les trois quantités a^ k, ^y en trois au 1res Py kfj a, respectivement, ce qui changera en même temps ^ et a en r et X ; nous aurons la formule semblable

(76)^ [-a'4-arcUng(Ç^.-^)),

I— rnDaA/* •'+r'/+r*ooi4Ar *— r'/— r9cos6a\r *^ -f r''/ +clc.

178. Maintenant, si l'on combine ces deux équations avec l'équation (73)^ et qu'on applique l'équalion des fonctions complémentaires 7- + -?^ — t

= -^^ j on aura la formule suivante, qui contient une propriété fort remarquable des fonctions Ci et d'y

(77) n + n=arctang(^.^^jj^,-^^j^J-ï7r. :^ .

On verra ci-après que le cas de ^^-^tC^^x donne Q=o et A'==|7r — a, de même que le cas de As=-^^s=a donne Q's=o et 11=5^^—* a:.

Moyennant cette formule, on peut rendre plus simples les équations (75) et (76), en les écrivant de la manière suiv2r>te :

(78) \ ^ rW T

1= a + [|;jF(A,^)-E(*,<p)]F(A/,«).

179. Pour avoir la fonction complète, soit f ssî^i et par suite «s-^tt^ il faut Sabord trouver la valeur de Ci'\ or, dans ce cas, la fraction égale à tang A', a pour numérateur

rsin 2a{r^^ — r«) — r*sin 4«('^* — '*) + ^ »n6a (r^* — r*) — etc. , quantité qui se réduit à

,48 FOKCTIONS ELLIPTIQUES,

sin aa — r*(ân2fl + sin4û) + t\s\n^a + sia6a) — r^\s\n 6a4-ûn8a) 4- elc. s= 2cosii(sina— r*sîn3û+r*sin5û — r'*8in7a -f" ctc-) î

le dénominateur de la même fonction se réduit de même k

asîn a(sma — r^sin 3a + r^sinSa — r'^sin ja -|- etc.).

cosa

Donc, on a tangfl'ss-: — , fl'ssj'Tf — a, et Féquation C78) donne

= i* - « H- [II- F(^, «) - ECA', «)] F'A ;

mettant au lieu de a sa valeur ^ F(A', a) s= ^^^^(K'E'iM-KE'JK— KIL'), on aura la formule

[= i TT — F';tE(A', «) 4- E'A:F(if , *) + F'AF(ifc' , «) ,

qui s'accorde avec la formule (/»') du chap. XXIII, tom. I*. £11 second lieu, si l'on fait ^ et x inGuiment petits, on aura

tangû=-;logr.5g^.

Mais logr=-f et:r=^F(*, (p)=f^ ?j donc, fl'=^^.^^. et de l'équation (78) on déduira

équation qui n'est autre que l'équalion (44) > dans laquelle on changerait les quatre quantités k, Çy Çy Xy en quatre autres A/, «t, r, a, respecti* vement.

180. Soit maintenant a infiniment petit, ainsi que et =5 9 on aura

T.nox.— rx o '^ '-rV — aAr '— r»/+3Ar 'r»/ — etc.

Soit T ou ï(r, a*) une fonction de r et a: , ainsi exprimée :

r * + r'y+rV ' + »•'/ — Ar '+r'/ + ctC-,

DEUXIÈME SUPPLÉMENT. i49

et le second membre de Téquation (78) deviendra

Quant au premier membre y il se réduit d'abord à

et ultérieurement à

donc , la supposition de a inGniment petit donne l'équation

Multipliant tous les termes par ^ ou son égale ^^^ . , on aura Vé-

quation différentielle

dont l'inl^rale est

log T - logco. =/g E4> - (. - II) ?^ + const.

Si l'on suppose Finl^rale f-A^Pj prise à compter de ^=0, on trou-

vera la constante =log(i — ar+a/'*— ar^+elc.) =s ^log — r. On a donc généralement , entre la fonction T et la nouvelle transcendante j ... l ùlk 0) ^^^^ ^)* ^"^ ^^^^ représenterons par T(A, ^), cette équation

(8,)l<«T-log«»,=T(i,,)-(.-^)î:âvt)+ji<^î£».

181. Une équation de même nature va nous être donnée par la formule (77) > dans laquelle nous supposerons a et a infiniment petits. Nous

avons déjà trouvé que cette suppontion donne ^' ^== "^ ^ * fjz i ^^'^ donne en même temps

i5o FONCTIONS ELLIPTIQUES,

^a, ysina-T— ay^sin4x+3y9sin6j— etc. __*■*• JSfa, a^

*~" ^ "*6y* i«jiyootax+a£<co«4x-— âj'côsBx+etei~~"aK * 9(gf x)JJc

Eufin , on a dans le même cas

on. »o„„ / ^(^.») 1(*2-A f » F(*. ») F(*% *)

• =*V15tf — î''--Ki^>

D'après ces valeurs , l'ëquation (77) donnera on nouveau résultat) savoir,

w de(q, x) r «^ j.:^ F(fc,») A(i6,f)

iKBÎ^yclx aKT2i"'"aK* K' — ootf *

Multipliant tous les termes par ^ €£r, ou par ^^ J. j on aura l'ëquation différentielle

dont l'intëgrale est

(82) logT(r, J?)— Iogcos^=loge(7, jc)4.^P(*, f) +C'.

Si Ton fait 9 = oeta: = o^on aura la constante

^ ~*^i— ay+ay*— 2^9+etc. ~^*^W

]8a. Si dans l'ëquation (8a) on change les quantités A et ^enA^eta^et par suite les quantités q^ r, x en r^ q^ a^ respectirement | la fonction T(r, x) deviendra T(^, a)î de sorte qu'on aura

et cette nouvelle fonction sera déterminée par l'équation

(83) logT(y,c)-logcos-i = loge(r,a) + .^P(A', -i) + ilog^. Si l'on substitue dans ces deux nouvelles formules les valeurs

]ogT(r,ar)-logA(^,x+i9r) = ^F-(A,^)+ilogJÎ, logT(7,«)-IogA(r, a + i^)=^F-(A/,«)+ilog^î

DEUXIÈME SUPPLÉMENT. i5i

*% ir 4ft oie '/c

et en substituant encore les valeurs F (A, ^) = , F (A/, «) s=s , on

pourra donner a ces équations la forme suivante :

(85) T(7, «) = (J)V^A(r,fl + i^).

D'où Ton voit que les fonctions T(r, x)fT{qj a) s'expriment assez simplement parles fonctions AÇq, ^-f-^Tr)^ A(r, a + î*^); ^^ comme l'une des quantités ^ et r est plus petite que rff l'autre étant plus grande, et pouvant même être aussi peu différente de l'unité qu'on voudra, l'une des deux suites désignées par T(r, J?) et T(Çf à) sera toujours beaucoup moins convergente que l'autre. Or, la suite la moins convergente s'exprimera^ dans ce cas , par celle des deux fonctions A , qui désigne une suite fort convergente } de sorte que les formules précédentes serviront à Êiciliter beaucoup le calcul numérique des fonctions T, comme elles serviraient à faciliter celui des fonctions A. Tout se réduit à substituer , dans le cas de non-convergence, une fonction A à une fonction T, ou, réciproquement, une fonction T à une fonction A.

i83. Revenons maintenant k l'équation (8t); en la comparant à l'équation (83) , on en tire cette nouvelle formule ,

(86) log©(7,*)=T(A,<p)-^F'(A,?)-|.ilog^,

T(A:, ^J^déagnant l'int^ale J ^u ^) E(A:, ^), prise à compter de

On peut remarquer que l'équation (44)) multipliée par dx^ et intégi*ée , aurait donné immédiatement la formule (86) ; mais il n'était pas inutile de démontrer celle-ci par yn autre procédé. Cette formule permettra de déterminer la fonction O ( f , ^ ) par l'intégrale T( A; ^ ^ ) , qui présente plus de fisKâUté pour être réduite en tables , conune nous l'expliquerons ci-après.

i84« On sait que pour toute valeur de 9 qui satis&it a l'équation F(A, ^)zssm¥^k^ m étant un nombre rationnel , on a

n(— i-f.if*sin»«,A,(P) = Jwn*(— i + ^'^sin-A, A) + W,

W étant une quantité déterminaUe par des arcs de cercle. De là il suit que dans tous ces cas la quantité ti' cessera d'être transcendante, et

1 5a FONCTIONS ELLIPTIQLES ,

pourra se déterninier algébriquement par des arcs de cercle au movea de l'équation

On pourra donc, en donnant & m des valeurs rationnelles asses simples , trouver difierentes formules plus ou moins dignes d'attention pour exprimer les valeurs correspondantes de Ci'\ mais nous ne nous arrêterons pas à en donner des exemples.

La théorie contenue dans ce paragraphe nous a fait retrouver, par des moyens nouveaux, toutes les propriétés auxquelles nous étions parvenus dans le chap. XXIII du tome I*', pour les fonctions à paramètre ciiculaire. Ainsi, nous avons trouvé, i^. que la fonction type de cette espèce , représentée par II ( — i -f- A/* sin* a , A , ^ ) , peut être exprimée par une autre fonction semblable n( — i -f- 1^ sin* ^^ hl^ m)\ de aorte qu'on peut échanger entre eux l'angle du paramètre et et l'amplitude 9 , pourvu que le module k soit remplacé par son complément V. a^. Que la fonction complète à paramètre circulaire peut toujours ^exprimer par des fonctions de la première et de la seconde espèce , et qaHl en est de même d'une fonction non complète , mais dont l'ampUtude f satisfait à l'équation F ( Xr ^ 9 ) = mY^k , m étant un nombre rationnel quelconque.

De plus, les formules auxquelles nous sommes parvenus dans ces nouvelles recherches nous ont fait découvrir deux nouvelles transcendantes Ci , £i\ représentant des arcs de cercle , qui se déduisent aisément l'une de l'autre, et dont l'usage est de faciliter autant qu'il est possible la détermination numérique de toute fonction proposée n(— i -f- A^* sin* ^yk^^)^ jusqu'à tel degré d'approximation qu'on voudra. On choisira, pour cet eflfet, entre les deux formules (75) et (78) celle qui contient la plus convergente des deux fonctions CL et OJ.

Les formules dont nous parlons sont vraisemblablement ce que l'analyse peut offrir de plus parfait pour l'approximation dos fonctions à pa* ramètrc circulaire; elles paraissent préférables à toutes celles que noos avons données pour le même objet, et elles n'exigent de calculs préliminaires que ceux qui peuvent être faits aisément , soit par la table 1**^ soit par la table IX. y

$ X. Seconde manière (T exprimer les fonctions à paramètre

logarithmique.

i85. Puisque la fonction 0(9, x) peut être exprimée par l'intëgrale T(A;, ^) ss | \ f^ i E^ky f)y ainsi qu'on l'a vu dans Part. 176, il s'ensuit

que la fonction dont le paramètre est — A*sin*«t pourra s'exprimer par le moyen de cette même intégrale , ce qui sera un perfectionnement notable apporté à la découverte de M. Jacobi; car, d'une part, on n'aura pas besoin de la table auxiliaire, qui servirait à calculer la quantité q par le moyen du module donné k; et d'autre part, il sera plus fiicile de c(»istruire une table des valeurs de Hntégrale T(k, 9), d'après les données immédiates A et f , les mêmes qui sont employées pour trouver les fonctions F(A;, f) et £(A;, f),- qu'il ne le serait de calculer la table des fonctions &(q , x) , d'après de nouvelles données ç et x. Ajoutez k cela que la méthode des ordonnées moyennes, qui a contribué beaucoup à fiidliter le calcul de la tablé IX , s'appliquerait avec non moins de succès au calcul des intégrales J ^Jt ^\ ^{k, f), puisque Tordonnée tW-^9

qui répond à chaque degré de l'amplitude f , est déjà connue presque entièrement par la valeur de E(A:, ^) comprise dans la table. Faisons voir d'alxnrd comment on peut parvenir directement à la nouvelle formule de réduction.

186. Soient f'étf^ des amplitudes, telles qu'on ait pour le module

commun A:,

F^' = F^-— Fa,

on aura en même temps

t^f 4- Ed — E^ ss A:* sin asin 9 nn ^\ If 4-Ea— E^sAf sinasinfsinf';

d'ailleurs, les amplitudm*^ et 9' se déduisent des amplitudes f et «, par les formules connues

9111 ^ ces «A«— lin « 00s fA^

ùnçf

i«-A*sin*«sm*f '

.;« VI— sitt» eoê mù m- ^ lîn m coi f A»

sm 9 sss -. -v-T — . a^

^ i7-ip*sin*«sin*f

TouE HI. ao

1 54 FONCTIQiNS ELÙPTIQOES ,

Considérons maintenant la fonction Z=:T^"— T^'==|'^E^"— /"^Ef 'j

si l'on regarde a comme constant, on aura ^F^' =s dFp ^ ou ^ss^y

et semblablement ^ = ^ ; donc, Z =f^ (E?" — E*0- Maw> P" *« formules précédentes , on a

E(p''— E^' = 2Em — A'sina sin^(sin^' 4- »în^/),

SU) O' -H SmO S= 7— T-;; r-r- :

donc

Z = / ^ (oEa — a A;' sin a cos «A* . if ? f . ^ ^ ,

J àp \ I — ft' iin*« 8m*f/ '

ou en réduisant,

z = (aEa + acot«A«) F? - acotaA^ /^,^^.^^^;,;,.^)^ ; donc on a la formule

T^''Tç's55 2EaF^ — 2CotctAa[n(— A*sin'a, A, ?)~F(*, ^)J,

à laquelle nous n'ajoutons pas de constante, parce que le second membre s'évanouit lorsque ^=o; quant au premier membre, il devient Tflt—T(— a).

Or, il est aisé de voir que Fintégrale T^ s= / ^ E^, quW suppose prise

à compter de ^ = 0, reste le même quand on change le signe de ^^ et qu'ainsi T^ est une fonction paire de (p. Donc , Ta =s T(— «) , el ainsi le premier membre se réduit encore à zéro , lorsqu'on a f s=s o. 187. Nous parvenons ainsi directement à l'équation

cotaAa[n(— A:*sin*a) A, ^)— F(A, ^)]

qu'on aurait également trouvée, à l'aide des équations déjà démontrées, cot « A« [n(— *• sin' « , A , ?) — F(A , ^)] ) e(* —«)

+(|;Jf«-e«)f(a,^) |-'*°«-ë(:?+^»

log©« = T(A:, ^)-|iF«(A,?)+ilog.2H.

En effet, puisqu'on a 2 — : F(*, ^), — - = F(A, a), il en résulte

• îSfc^ =:F(A. <p) - f(k, a) = F(A, ^'), aK(^ ^F(A, ^) + F(A, «) = F(A, ^")j

DELXIÈME SUPPLÉMENT. t53

et en faisant les substilulions de ;r — a et x^a k la place de x dans log@x, on en déduit

ce qui donne encore la même formule

ootaAct[n(— A;'sin*a, k, ^) — F(*, ^)] = E(A, «)F(A, ^) + i r(A, (p') - ir{t, (p")i

et , parce que le modole k est commun à tous les termes , on poom écrire plus simplement

cotaAa[n(— A:»sin*flt, <p) — F<p]=EfltF(p+^T^'— iTipT'.

Si Ton change ot en ^ et ^ en a, le module A: restant le mén^e, (p' chan'* géra de signe, mais non T^'^ qui est une fonction paire de ^'^ on Aura donc

cot^A^{n(— A*8in»<p,a) — Fflt] = E(pFa + iT^'— iT^':

de là t>etie formule de transformation déjà connue ,

(88) cot (tAA£n(— *'sin'«, ^)— F<p] — €Gt^û^[n (~ /t'sin^f , et)— F*] =EaF(p — E^Fa,

dans laquelle, si l'on fait ^ss^T, on aura^ pour déterminer la fonction complète, l'équation

cot aAflt [n' (— k^ sin* a, k) — • f'k'j =: EaF'A — E'AF<e ,

qui s'accorde également a^ec Ja formule oonnue.

i88. Il faut maintenant entrer dans quelques détails sur les moyens de calculer l'int^ale T{ky ^)j et sur la figure de la courbe dont p serait l'abscisse et T(A;, p) l'ordcœnée ; on va Voir que «cette courbe s'approche beaucoup de la »mple pardbole dont l'équation est Ajr ss p^^ et qu'il y a entre ces deux courbes une infinité de points communs placés à distances égales dans le sens de la ligne des abscisses.

Considérons d'abord les deux ampUtuiks «^ et ^ , qui satisfont à la

formule de duplication F (A;, 4)= ^{^f 9)^ ^^^^^ annoiis «^s^ ^,

n-=f^H=^»f^H; doue aTV-iT4;«/g (,^ -. E4) =/^7~Tra^^ = - i '«g <i - *' «n* ^)- D'où l'on voit que la

i56 FONCTIONS ELUPTIQUES,

fbnclîoD T4 ^ déduit très simplement de la fonction T^, qui répond k

une fonction F^ , moitié de la fonction F4 ; on aura , en effet ,

(89) T>|/ = 4T^ + log(i— A-sin*^).

Réciproquement, la fonction T^ se déduira de la fonction T«^ par

l'équation

T<p = iT4 — :ilog(i— A'sin*^).

D'ailleurs , pour déduire ^ de ^ , on a l'équation taiig ^ 4 ^^ ^f ^<^ 9 9

d'où résulte i — A' sin^ ^ = ^^ , et ensuite sin ^ = l/f ^^i + a403 ^ ^"

sin^= ., ... ^t !"!*,// T": — r\- Telles sont les formules de rédae-

tion qui se rapportent à la duplication des fonctions de la première espèce.

1 89. En second lieu , on peut tirer des fonctions complémentaires

d'autres formules de réduction. Soit F^ -j" ^^ ^= ¥*ky on aura... • ••

g + ^ = o, E<p-|-Ea-E'*=*«8in?»intr = t±li!Af2L?, et do équations T^ ==/^ ^ > '^'^ ^fzr E<^ = — / ê E* > <>•» ti««» Tf — T»

4-const. Si l'on fait f = o, on aura cr = |-7r, et la constante sss-^T;*^' ; donc, ayant supposé F^ + F^ = F'^9 il en résulte la formule

(90) T(rs=Ti7r+T^ — E"A;F^ + logA^.

Soit 0r = o, ou ^ = -^7r, cette formule donnera

Ti7r = ^F'AE'A — ^logA'.

On trouverait le même résultat en &isant trss ^ ; car alors on a

F^ = iF'A et A^=ï/A/.

Si dans la même formule on fait à la fois ^ = ^ et 0* =: — î 9r, on aura

T(r = T|çT, F(p = 2F'A, A(p=:i; par conséquent,

(91) T7r = aF'AE'*.

Soit maintenant F^ -f- F-\> := F^ =s sF'A; , on aura E^4-E4 = 2E'A, ^4.4=B-T, £*p-f-c^ = o, AfssA^j

donc T^-T4=/(|E^-gE4)=/|(E^H-E4)

DEUXIÈME SUPPLÉMEPÏT. i57

Soit f = ^9r, on aura «^/sIt; donc C =3 — 2E'Â:F'A:, et l'on a la

formule

Celte éqnation fera connaître la fonction T^ depuis ^=î7r jusqu'à ^ss'Tr, en supposant qu'elle soit connue depuis^ = o jusqu'à ^ss-^t; or, il n'y aura jamais lieu de passer cette limite quand on appliquera la formule (87) à la détermination de la fonction n(— ^*sin*«, A» ?)• Mais examinons quelle est la loi de progression de la fonction Tp depuis ^ = 9r jusqu'à ^ = 00.

190. Si l'on change le signe de Ç dans la formule ^3), on pourra , des deux équations, en tirer une troisième , savoir :

Dans celle-ci , fiiisons successivement Çss^^r y iC ^ \7r ^ a^r, etc. , nous aurons, en ayant ^rd aux résultats déjà trouvés ,

Ti7r=iF'A:E'A:— ilogif, Tît = !iF«*E'Ar,

Tf7r = Tl7r+ aT^r, T27r= 4T7r,

Tf7r=Ti5r+ 6Tst, T3^= gTçr,

ri7F^T\7F+ laTîT, T4^=i6T7r, etc. etc.

Il s'ensuit que n étant un entier quelconque, on aura généralement

(94) T(^,r)=:(^)T^+ilogl,T(«r)=»-T*.

Si l'on imagine donc une parabole qui ait pour équation Kj = x*, le paramètre A étant — ou p,^,. , la courbe dont les abscisses sont f et les ordonnées Tf , rencontrera la parabole dans tous les points où x est un mnltiple de 7F. Dans tous les points intermédiaires , l'ordonnée de la courbe surpassera

l'ordonnée de la parabole de la quantité constante î log tt) quantité d'au*

tant plus petite , que le module k sera plus petit ; mais en même temps le point de la courbe qui a pour abscisse ('i + î}^) sera toujours situé au-dessous de la corde qui joint les deux points dont les abscisses sont mr

et (A-Hi)^,ladistance étant ^T^-r^log jp^ou^ F*A:E"A: — ^log^, quantité qui a pour limite \og a.

191. Si l'on suppose l'amplitude ^ très petite, on aura, pour déterminer T^, la formule approchée

i58 FONCTIONS ELLIPTIQUES,

(95) T,=/AE,= Ç(.+J*-^-ii'-i!^^), .

dont Terreur ne se fait sentir que dans les termes de l'ordre f*. La parabole osculatrice de cette courbe aurait {H>ur écpiation/ssE^, et son paramétre serait égal à a. Dans la parabole que nous avons traoée, le parannâlie A = ,g qr; il est égal à a lorsque k est très petit, parce qu'alors on a

F'kE^k == j ; et lorsque A: = sin 45*, on a A = i «9706. AioM «a voit que

même a l'origine des abscisses, les deux courbes se touchent et sont presque confondues, à moins que k ne soit très près de l'unité.

Maintenant il eat aisé de Y<Mr comment, pour une valeur donnée de f moindre que ^tt, on calculera la valeur approchée de l'intégrale Tf . Si

Tauiplitude (p est très petite, on aura T^ = ^^^u +g *V) » rerreur n'étant que dans les quantités de Tordre ^'*

192. Pour ramener à ce cas celui où Paroplitude f a une valeur quel* conque moindre que {tt^H faudra, par les formules de la bîssecUoni cal* culer les amplitudes ^\ ^"y ^"^ qui répondent aux £)nctions ^Ff, i^ff |F(p, etc., et l'on parviendra bientôt k une amplitude f^ assez petite pour que Ton puisse négli{;er les quantités de l'ordre (^)' par rapport k (f^)*, ou les quantités (^/ par rapport à l'unité. Arrivé A ce terme, oA IVm a immédiatement la valeur de T(^), on remontera de chaque amplitude à l'amplitude supérieure, comme nous levons vu que l'on pent remonter de l'amplitude ^ k l'amplitude 4 9 ^^ V^^ ^^ ^^^it par la formule

T(4) = 4T(<p) + log(i— A-«n^^).

La multiplication par 4 appliquée à la fonction T^ pour en déduire T(4)» ^ répète autant de fois qu'il y a de termes dans la suite des amplitudes calculées ^', ^'', ç'" j etc.; mais le degré de l'approximation, rapporté à un terme fixe, est toujours mesuré par les quantités jle Pordra

193. Pour donner un exemple de ces calculs de bissection, auppoaone qa^étant donné T^^ s: lF'A:E'A;+Tlog Q.), on veuille avoir la ftnction

T^ qui répond à l'amplitude <p, telle que F^ = î F'A:; il faudra, dans les

formules de duplication , faire 4 = i''^ 9 sin*^ s=; — rp, ce qui donnai:»

DEUXIÈME SUPPLÉMENT. i5g

ou T^ = iF'AE'A— ilog^^;

semblablement , si Pon prend Famplitade (p' telle que F^' =s ^ F' A: , on trouvera

T?'=f. F'ArE'A- ^ log 2^ -ilog(i -A'sin*.p')i formule où il restera à substituer la valeur

194* Ces méthodes feront connattre la valeur de toute fonction proposée T{kf^) dont le module donné est ky et dont Pamplitude ^ est prise à volonté de à ^tt. Mais s'il s'agit de la construction d'une table , il serait trop long de calculer chaque terme par les procédés indiqués y et l'on ne pourra mieux &ire que d'appliquer la méthode des ordonnées moyennes à la formule intégrale f^ E^, comme on l'a &it dans la constructioa de la table IX pour les fonctions de la première et de la seconde espèce, représentées par les intégrales f—y fd^ùk^.

On se proposera donc semblablement de calculer la table des fonctions T{ky ^)y pour toutes les valeurs, de dqpré en degré, tant de l'angle du module que de l'amplitude , depuis o* jusqu'à go*. Pour cela , il faut avoir,

pour chaque demi-degré du quadrant, la valeur de ^, qui représente l'ordonnée moyenne employée dans le calcul. Et parce que la valeur de E^ n'est donnée immédiatement , dans la table IX, que pour les degrés en-^ tiers, on pourra se borner, dans une première opération, à construire la table de a en 2 degrés d'amplitude , sauf à intercaler ensuite une moyenne entre deux termes consécutifs, si l'on veut étendre la table à tous les degrés d'amplitude.

i6o FONCnOKS ELLIPTIQUES,

§ XL Solution d^une difficulté reloSwe à la démonstration

de r équation (44) àe Vart. i56.

195. N0U8 sommes parvenus, dans l'artide cité, à une équation doot les deux membres étaient des fonctions semblables , Fune de x , Paatre de x^\nc\ celte équation pouvait être représentée par 9jt s= 9 (x «|- ^ir). rious en avons conclu que chaque membre est une quantité constante; et comme ^x s'évanouit , ainsi que 9(a? + |7r), lorsque Jt ^ o, nous avons cru pouvoir (aire en général ^x s= o , ce qui est l'équation (44)-

On peut opposer à cette conclusion que deux fonctions telles que #x et ^ (^ + 7^) 9 pourraient être égales pour toutes valeurs de Jt , même devenir nulles simultanément pour un certain nombre déterminé de valeurs de x^ sans cependant se réduire à zéro pour une valeur qudconqae de X. Par exemple , si la fonction ^x était composée d'un eu plûsienrs termes de la forme ^sin 4^x, m étant un nombre entier, on pourrait substituer x '\^\nc à x , sans changer la fonction ; de sorte qn'on anrait toujours 9x = 9(x + Î9r): de plus, les deux fonctions s'évanouiraient pour toute valeur de 1{X égale i un multiple de 'ar, et cependant on n'aurait point en général 9x=o.

Pour résoudre cette difficulté , nous aurons recours aux formules de duplication que nous avons rapportées dans l'art. i5g; et d'abord il finit prendre, dans Tari. i5i , la formule (Sg), où l'on mettra ax à la place de

or, ce qui donnera

C'0ax = &x — SSx.

Mous avons d'ailleurs sin ^ == CA — ; ainsi , en substituant la Taleur Ax = k^ Gjp sin 9 , nous aurons

C02X =: ©♦x ( I — *• sin^ <p).

Cette équation, étant différentiée logarithmiquement, donne

de^x ^^^ ^dex 4^8in^f co8^ ^ ta* ex I— it*tm«^ ^'

Si Ton fait ensuite F4 = :2F^, on trouvera aisément, par les formules du Tart. i58, que l'équation précédente peut être mise sous la forme

Il en résulte par conséquent 9x = ^9(3ar), seconde propriété générale des fonctions O, qui doit être combinée avec la propriété dé]k oonnue

DEUXIÈME SUPPLEMENT. i6i

^x = ^ (a: -f- I ^) ; elles supposent toutes deux que le module k resle le même pendant que x varie.

Or,ona F^ = ?5f et E^=/^-^'a.^=/?^ (i-A^). Ainsi,

on voit que la quantité 9Xj qui représente le premier membre de l'équation précédente 9 peut être développée en une série procédant suivant les puissances ascendantes et impaires de x , de sorte qu'on aura

*a: = A« + Ba?» + Gr' + Dj:' + etc.,

A, B, C, D, etc., étant des coelfîciens constans : mais alors on aurait

aussi

* (2x) = 3 Ax + T^Bx^ -f. 2*Car* + a'Dar" + etc. ;

et de l'équation <l>x = \^ {2x) on conclura B = o, C=s:o,P = o, etc. 11 resterait donc simplement <bx^=Ax^ valeur qui ne s'accorde avec la seconde équation ^a: = <t(ar-|-7 7r) qu'en supposant Aâ=o; donc on a généralement l'équation <bx = 0, que nous voulions démontrer. Mais il y a encore une manière non moins satisfaisante de parvenir au même résultat.

196. Dans l'équation (35), mettons 9* à la place de ^ , et :2a: à la place At X y nous aurons

Comme on a d'ailleurs

V/(, - A-sin- (p) ==(Af)î ?%i?±i^, et par conséquent

©(y,î?r+x)==(*X'0(y,x)(t — A*Mn*(p)* = 0(y,içT — X),

l'équation précédente pourra s'écrire ainsi ,

et sa différentielle logarithmique sera, en supposant d&(çy x)sss&(çy x)dxy

& l'on substitue dans ce résultat la valeur *^ = — A (A:, f), on en déduira l'équation

D'un autre côté, nous avons (art 167) l'équation

ToHE III. 21

i6a . FONCTIONS ELLIPTIQUES,

J^GCA, (p)-^° G(A-, <p-)= î^ sin n

tt , en comparant les seconds membres de ces deux équations , on >'a&bixve aisément qu'ils sont égaux; car, suivant l'art. 63, tome I*', on a

hin O^ssi ^ . . * '"f^^\^ . Il reste donc à faire voir qu'on a

Â'KoLo

i— 75 = Kk*y c'est ce qui résulte des valeurs connues Kss(f^il^)K^, A:*= ^, . Donc on aura l'cquation

ULi l'on remarque que le second membre n'est autre cbose que le premie»-, dans lequel on mettrait A:^ et ^* à la place de A; et 9; car cette siibititution exige qu'on mette en même temps ç^ et 2X à la place de ç et JC.

Cela posé, si l'un désigne le premier membre par 0(A,'^), le second membre sera <l>(k?^ 9'') , et l'on aura <t (A:, 9) = O (A:*, ^®). Par la même rai« son , on aurait * (A;*, <p^) = * (A:*% ^•*») , * (k^^, (f"^) = *(Ar*, ^•^) , clc- ;

donc on aura en général ^ (A:, ç) = O (A^, 9^). Supposons que la suite k ,

k^^ k^y etc., soit prolongée jusqu'à un terme A^, qu'on puisse regarder comme n^ligeable, ou même infiniment petit, alors la valeur de 9, cor'>

pondante au module Jt ^ sera le terme de rang [â dans la suite ^*, ^^

q^y etc., et par conséquent sera q^) d'où l'on voit que ce terme sera en*

core beaucoup plus négligeable que AT : et puisqu'on a

on pourra , dans le second terme , faire

ce qvi rédiiit la valeur de 0(A: , f ) au premier terme G{ir, f^)

= [E(A: ,^'*)-T-^F(A: , ^'*)]. Mais dans ce c^s^^ù A;'* est censé infiniment petit , on a K^=f9r s=s E*kf*j /*= i ; on a de plus

E(Ar,f)z=zI(fr,f)=f; donc <b(jt,^) = o'.

donc on a en général ft(A:, 9) = o, ou

DEUXIÈME SUPPLÉMENT. . idl

§ XII. Démonstration 6^ une formule générait qui s^ applique

à un grand nombre de transcendantes.

197. Cousidérons l'intégrale 4«^= f r~Y7(~\^ ^^^^ liaquelle fx et

^.r désignent des^ fonolions entières^ de x. Celte intégrale se rapportera aux fonctions ellipliques> tant que 1» variable x ne passera pa&- le- 4* ^^* gré dans ^\ mais au-delà de ce degré* elle désignera des transcendante» d'un ordre de plus en plus élevé. Il s'agît de faire voir que toutes- oes transcendantes jouissent d'une propriété générale analogue à celle que nons avons trouvée , pour les fonctions elliptiques, diins le chap; XVI, tome !•', du Traité précédent.

Pour cela, supposons que la fonction entière (px est le produit de deux autres fonctions aussi entières, que' nous désignerons par ^,x et ^«x, de sorte qu'on ait ^xss^^^x.^^.* Soilaht et! mètn^ ttops 0^ et 0|« deu:^ autres fonctions entières de a:, ainsi exprimées,

(■> { tz

Co + C,X + C^X^ + €?^",

lesquelles satisfassent à l'équation

11 faudra donc que le premier membre, développé' suivant Tes puissances de or y donne identiquement* lé' même* pîoiyifolfyMe en^x, du degré ^c, qui résulte du développement du second membre. Quant aux coefliciens i%-, ^,.^1^., Co, c, ... Cm, qui entrent dans les fonctions 6^, 0|X, ils sont supposés fonctions d'une m^ole Variable f i\ïd^é]p'endadte de ûd , et cette variabilité n'est point partagiée plir'les coefficibhs contenus dan^ le^ fonctions ^^x et (PtpCy lesquels doivent être considérés confkm'ô'côtl^tart^, aihfei qufe la' qlldn^ tité a comprise dan^ Ib dénominateur a^ -^ ^^

Cela posé, nous notis proposons de démontrer qu'on aura généralement réquation^

C étant xme constante et rl(X)' désignant le coefficient de * dans le développement, stiiVâYirlês paisÈ&ûces dèscezldàntttridîi-jc, de la fonction

1 64 FONCTIOS ELLIPl IQUES ,

Quaut aux coefliciens c., f%j^ • • €^9 îi» doivent êlre +1 ou — -i , selon les différens termes 4*^ai 4*^*9* * * 4^^») auxquels ils sont afièclës. Voici maintenant l'analyse qui conduit à la démonstration de ce théoràme général.

198. Appelons V{x) le polynôme en x du degré /Et, qui forme le pre*mier membre de i'ëqualion (a) , et supposons (|ue x désigne l'une quelconque des quantités ^r., x^^ x^^ • • • Xfj^\ cette supposition donnera

P(j:) = o. Soit ^==P'ar, la dîQerentielle de l'équation P(jp)==o,

prise tant par rapport à x que par rapport à la variable jr^ qui entre dans les coefliciens des fonctions 6x et ^^x^ sera

Et puisqu'on a Pa: = ^x^^x — fl*a:^.x, la différentielle de celte quantité, par rapport à jy sera

(2(p,x9x.^ — a^.^e.:r^) dj j

de soi te qu'on aura

V'xdx = ( 2^^6.0: ^ - a<f,xhx ^ dj- } mais , d'un autre côté , comme on suppose Vx ^ o , on aura

6 étant =b I , ce qui donne

ftr(p.a: = «fl.xt/((p,a:(p,j:) = tfl,a:v/(<px),

donc, on^ l'équation différentielle

ou en distinguant par «T les difierentielles des fonctions flx, 9,JC , prises par rapport à / seule,

V'xdx = 3«t/((pa:) (fla:crfl,a: — e.XcTfla:). Multipliant de part et d'autre par e.-Jf—.JL.^l^ on aura

DEUXIÈME SUPPLÉMENT. i65

On a désigné par x l'une quelconque des quanlités ^i, .r., 0*3, . . • :r^ ; si donc on fait successivement la même substitution pour toutes ces quantités, et qu'on ajoute tous les résultats, leur somme pourra être ainsi eii primée :

Or, on va voir que l'opération indiquée dans le second membre fera disparaître entièrement la variable x , pour n'y laisser que la variable j ; alors, en intégrant les deux membres, on aura, d'un côté, ^m^x^ qui représente la somme des intégrales €,4^1 +^â>|/^» + ^s4'^s. . .+ €^4>, et de l'autre une fonction en y qui ne dépend que des coefiiciens compris dans les fonctions hx et ^iX.

199. Désignons par Xx la différentielle 3^(fljcJ^9i^— OtxJ'ix); Xx sera un polynôme en x^ d'un certain degré A, dont les coefficiens seront fonctions de j^; ce polynôme pourra être mis sous la forme Ax=:Aa-f-(a:— .2e)A,a:, Ajo; étant un second polynôme du degré A;— i ; nous aurons donc

Xal ; ^^r- + 2

mais on a

Pa = (a— x,) (et — a:.) (« — Xs). . . .(a — jc^) ,

et si l'on fait

les coefiiciens A|, A^... A^ étant indépendans de €t, on aura A, éeal à la valeur de ^ "^^ ' ; lorsque a=ar,, cette valeur = 5^- j donc

et réciproquement

(•— x)F«"~P«' donc

Pour avoir le second terme de cette formule, j'observe que si, dans la suite trouvée pour la valeur de p, on développe en série infinie chaque fraction , on aura

i66 FONCTIONS EIXIPTIQUES,

donc, S p7- est égal au coefficient de -s:^, dans le développement aep

fait suivant les puissances de -, ou bien à celui de - dans le dëvelop-

pement de ^. De là on voit aisément que 2 ^, où A.x est une fimc-

tion entière de a:, sera égale au coefficient de - dans le diéveloppe-

ment de la fonction ~ , fait suivant les puissances ascendantes db -• Or , on a

Px (X— «) Pr (x— #)Px»

et la moindre puissance de -, comprise dans le développement du tcikine

fx— et) Px ' ^* GT '' ^ ^^^^ '* P'"^ baute puissance de x dtttts Pal ; dwAHi

ce terme ne contiendra pas la puissance inférieure - , et l'on aura simplement

en désignant par n (X) le coefficient de - dans le développemenC^a^lw feno»

tion X suivant les puissances ascendantes de -. 200. Cela posé y nous aurons l'équation

Le premier membre étant intégré par rapport à la seule variable x qu'il renferme^ donne 2 ^4^) expression qui équivaut à la suite*

Pour intégrer semblablemeut le^ second membre par rapport a la seule variable j qu'il contient (car la partie aileclée de la caractéristique FI est indépendante de x; elle serait la < même si Ton mettait toute autre lettrées

à. la place.'de jc)-,. j'ob8er^•e que la diiTérenticllo t~ — -J— a» pour int ^g r altf

i loo ?V^îi±lLV^.

ai/(f.*â) ^ ' ÔV/^.— 0.; ç>.'

DEUXlÈîdE SUPPLÉMENT. 167

donc on aura enfin la formule générale

Celle formule y qui peut s'appliquer aux fonctiooâ elliptiques et à une infinité de transcendantes plus composées^ est due à M. Abel , qui Fa publiée dans le Journal de M. Cvelle, année i8a8, page 3 1 4* Nous développerons dans un autre Supplément quelques-unes des conséquences qu'on en peut déduire.

Paris, le i5 mars 1829.

TABLE DES MATIÈRES

§ V. Usage des imaginaires dans la théorie des fonctions elliptiqiiatj P*8B 89 § II. DéreloppcnKsnt des fondions trîgonomélriques de Pamplitode, en idriw

composées d'ane infinité de facteurs, gS

§ m. Autre sorte de développement des mêmes fonctions trigoaomélriqMi dé

l'amplitude, îoi

§ IV. De quelques séries dont les sommes peuvent être déterminéeft par las

fonctions elliptiques , 107

§ V. Usage de ces formules pour diverses sortes d'approximations , 111

J^ VI. Diverses propriétés des fonctions B(q, s) et A(^y «), 116

§ YII. Nouvelle formule relative aux fonctions elliptiques de la seootde eqpioe, ia8 § VIII. Nouvelle expression de la fonction de troisième ttfkot à pa r a m fetie

logarithmique y l38

§ IX. Application de la même formule aux fonctions à paramètre circulaire, i^S § X. Seconde manière d'exprimer les fonctions k paramètre logarithmiqmy i53 § XL Solution d'une difficulté relative a la démonstration de FéquatioB (44)i

art. i56, 160

§ XII. Démonstration d'une formule générale qui s^applique à un grand iMMibre

de transcendantes, i63