FIN DE LA TABLB DU D£CX1I:M£ SUPPLEMENT
§ P'. Addition au § P' du premier supplément.
:200. Le principe de la double substitution dont nous ayons parlé dans l'art. 8 du P' supplément, nous a servi à démontrer fort simplement que
Véquation ^ = - . ^^ , dans laquelle les constantes ju et A sont déterminées
par les formules (8) et (g), satisfait généralement à l'équation différentielle
^/(.-x-)^(.-it-x') =^- i/o -^0 ^^ (--rTF) ' ^* P*' conséquent à son intégrale F(A:, ^) = juF(A, 4), ce qui est le théorème P' de M. Jacobi.
Nous nous proposons maintenant de parvenir au même résultat sans supposer le principe de la double substitution , ou plutôt , en déduisant ce principe de l'analyse du problème; ce qui rendra notre démonstration plus rigoureuse et plus conforme à celle qu'a donnée M. Jacobi dans le n"" 127 du Journal de M^ Schumacher.
30 1 . Reprenons , pour cet effet , Téquation ^ = - . — , trouvée dans
l'art. 7 ; il faut*prouver qu'en mettant t- au lieu de x, et r- au lieu de
y , cette équation pourra subsister, pourvu qu'on donne à la constante h une valeur convenable.
6in*cc
En effet, par la substitution dont il s'agit, le facteur général r
devient j^^ .^^ ^ . -p ; donc la quantité :^ , formée du produit
sin* ce
de plusieurs facteurs semblablement exprimés , deyiendira -r*^ 9 ep fai- ToMB m. 22
sant, pour abréger^
et à la place de l'équation ^ = - . — , on aura
Ot, il est visible que ces deux équations s'accorderaient entre elles si Ton avait h=zfji*k\, c'est-à-dire en substituant la valeur de /t,
h z=z k^ sin* ot, sin* «s sin* «5. .• . . sin< a^-»- U est donc démontré que la double substitution de -p à la place de a:, et
de j— à la place de j^^ qui peut se faire sans donner aucune valear à h dans l'équation différentielle
dx ^__ 4r
V/(i — a:O.V/(i — ^?^^) ~ ^' !/(*— -J-'M/Ci — Ay; '
pourra se* faire aussi dans 1 équation finie ^= -•y 9 pourvu qu'on donne kh la valeur qu'on vient de déterminer.
Il faut se rappeler maintenant que 1 équation ^= -. ^ a été déduite de l'équation (^), qu'on peut mettre sous la forme
, V \ sm fit,/ \ SI 11 g3/ \ '8\n ap a/
^ ~^ — C' =F'^;- r="iFÏ^7h7i;r/ I — A-or* sln» «p j i-^iex'iîn*ce/
Ainsi CCS deux équations ne sont réellement qu'une seule et même équation entre ^ et Xj mise sous deux formes différentes; et puisqu'on peut faire la double substitution dans la première équation , en donnant à h • une certaine valeur, on pourra la faire aussi dans cette dernière, avec la même condition , ce qui donnera le résultat suivant :
-iè=''O^È)-
1 "^ (1 — kx siii <y,)" (i+Aa:sin asY (i ±: kx sin tfp*)*
sin* «p^i
siir' a
sin* «a
= = ( — i) ^ AT"' sin* a, sin* a. sin* a,. . . . sin* a^, sin* tf^«,.
202^ Nous avons déjà remarqué qu'on pouvait changer k la fois le signe de x et celui de j; ainsi les deux équations précédentes, qui doa-
TROISIÈBAE SUPPLÉMENT. 171
nent les valeurs de i — ^ et de i '-~~ î~ > donneront , avec le changement
indiqué, celles de i +7" et de ' +r-- Multipliant donc entre elles ces quatre valeurs ^ on aura le produit
où l'on a fait , pour abre'ger , T=PQ,
p=fi-^Vi--^)fi-^) (i^-^fL-),
\ sm' fit,/ \ sm'aes/ \ sia* a^/ \ 8in*fltp^/'
Qsz=(i — A:*,r*sin*a,)(i — A:'x*sin*a3)(i — k^x*sin*ai)...(i — A:*^'sin*a^.). De cette équation on déduit
puis faisant X = -U, ouj^=^, on aura
La .Supposition* a: ttno donné Xt==0| Vs=iy Ts= i. Ailnsi , dans ce cas , rëquation précédente se réduit à B*â* == Ar'/x* ; c'est en effet ce qui résulte d(ss valeurs trouvées de B , A et fi. On a donc plus simplement
Le premier membre est le produit des quatre facteurs
V — X, V + X> V — AX, Y+hX,
qui sont des polynômes en x du degré p ; car cela résulte des valeurs
V = (i — A:*ar* sin* a.) (i — A:*a:* sin* «4).... (i — A:*.a:* sin' ct^,),
OÙ Ton voit que V et X sont des polynômes en ,r, le premier du degré p — 1 , le second du degré p. Nous avons donc l'équation
(V— X)(V+X)(V— »X) (V-HAX)=;=(i— jc)(i+^) {i—kx) {i+kxyt-,
dans laquelle les quatre j&cteurs du premier menibre sont premiers entre eux , puisque V et X ^ d après les valeurs précédentes , ne peuvent avoir aucun commun diviseur. U est d'ailleurs facile de voir que chacun de
ces facteurs est le produit d'un facteur simple par le carré d'an polynôme du degré -^^^ ; car nulle autre supposition ne pourrait £iire que
chacune des quantités V -r- X , V + X , V — AX, V + AX , (ut un polynôme en X du même degré p^ et que le produit des quatre fit représenté par (i — iSc) ( I + a:) (i — kx) (i + kx) T*.
ao3. Il faut prouver maintenant que la valeur / =: rr* satisfait à l'équation différentielle
dx dy
En effet, on a d'abord
rx = A^
dx dx dx'
Appelons, pour abréger, Z le second membre; on aura^ en désignant par c une constante quelconque ,
z = (V - cX) ^ - x /^^-^^\
dx
dx
Par cette équation , on voit que si Y — cX a un facteur double tel que (a — ^ocYf il y aura nécessairement dans Z un facteur simple a— *£x: or, on a trouvé que tous les facteurs doubles qui entrent dans les quantités V— X, V-f-X, V — AX , V + AX , composent , par leur produit, la valeur de T*. Donc la quantité Z est divisible par tous les facteurs de T , et par conséquent esl divisible par T. Mais X étant nn polynôme en x du degré ^, et V un polynôme du degré p — i , la
quantité Z = V ^ ^^ est un polynôme du degré np — a# D'un
autre côté, on sait que T ou PQ est un polynôme du même degré a/i<— a.
Donc 7r7 est une constante qui , étant nommée A, donnera Z = AT=V'y^.
De là resuite ^^ = ^ ; mais on a trouvé T- = V*. JilI^^IlllJg. donc
V* ^{i—x).y{i — k*x*) ?,*dx'
OU
djr
>idx
De plus, en faisant x infiniment petit, et négligeant les quantités de Pordxe
X», ona X=î,V=i, T=si, Z = v9 = 'î donc A=5= -• Donc
enfin l'équation algébrique ^ = r^ satisfait généralement , pour toute valeur du nombre impair p ^ à l'équation différentielle
^c dy
1/(1 — X'). 1/(1— 1&^) ~ f^' \/(i —jn.}/[i — hy^) '
et par conséquent à son intégrale F (A:, ^) = /xF(h, 4)*
C'est en cela que consiste le principe général de transformation que nous voulions démontrer.
§ IL Construction géométrique par laquelle on peut multiplier h ifolonté la fonction de première espèce F(c, fl).
2o4« Étant donncfs le module c et lamplitude ^, on peut troQTer, par une construction géométrique assez simple^ Tamplitûde ^. qui convient à la fonction F (c, ^,) égale à wF (c, (p).
Pour cela, sur la circonférence décrite du centre C (fig* i)^ av^ec un rayon égal à Tunité, prenez lare AM. égal à 2^ ou 9^, ; prenez ens«ita| à compter de la mpme origine À et dans le même sens, Tare AM.M. ^pd à 2(p^'j tirez la corde M.Ma, et divisez en deux également l'angle AM|M« par une droite M|D, qui rencontrera en D le rayon AC prolongé. Da point D comme centre, et du rayon DO perpendiculaire à la corde AM, , décrivez une seconde circonférence qui touchera les deux cordes AM, , M.Ma. Cela posé, si du point M, on mène au petit cercle une troisième tangente M^Ms', qui rencontre la grande circonférence an point Mj, ce point Mj déterminera l'arc AM.M.Mjszz 2^3 , dont la moitié ^j servira à la triplication de la fonction' F (c, ^), de sorte qu'on aura
F(c, (Pa) = 3F (c, (p).
De inéme, si du point M3 on mène une nouvelle droite M3M4, qui soit à la fois tangente au petit cercle et corde du grand , on connaîtra le point M4, qui détermine l'arc AMjM^MsM^ = 2^^. Continuant ainsi indéfiniment, on formera un polygone dont chaque c6té sera tout-à-la-fois inscrit dans la grande circonférence et circonscrit a la petite. Ce polygone déterminera, par les sommets M., M^, M3, etc., de ses angles succès^ sife, tous les arcs 2^,, 2^«, 2^3, etc., dont l'origine commune est A, et qui, à compter du second, servent à multiplier la fonction F(cy f) par les nombres 2, 3, 4>'^y etc.; jusqu'à telle limite qu'on voudra; d'où il suit que, par une construction géométrique très simple qui n'exige que la règle et le compas, on peut parvenir à déterminer l'amplitude f. qui satisfait à l'équation F(c, ^.) = nF(c, ^), n étant un nombre entier quelconque. On résout ainsi géométriquement un problème d'analyse qui présente d'assez grandes difficultés (tome P% art. 22).
2o5. Les données dont nous avons fait usage dans la construction de la figure sont l'amplitude (p de la fonction donnée et l'amplitude ^^ de la fonction double F (c, (p^ ; mais on peut déterminer le centre D et le rayon DO du petit cercle par les données immédiates c ei (p.
BM^, DMj, AM«, AMs , pour former les triangles ADM^, ADB|s ,
Dans le triangle ADM. ^ on a les deux c6iés AD =s t ^ e AM, =: 2 sin (yri + Tf — (p,, ) = 2 sin ^., cos -Trr, et Fangle compris
DAM, = ^.«i — ^ (2/ + 1 ) ; on aura donc le troisième côté par la formale
(DM.V = (i + e)« — 4e sin* ç>.^. zsp*;
on aura semblaljlement
(DM,)- = (i + e)- — 4e sin* ^. = ^.
Avec ces deux côte's, que nous appelons p et 9^ et le troisième.... M,M3= 3sîn((p, — (p,,) = ^, on trouvera Taire du triangle DM.Ii^ par la formule connue
Cette même aire = ^ r^ ; donc on aura
4r» = 2 (/»• 4- 9«) — r* — ^■^-=^' Substituant les valeurs
j = 2sin((p,— (p.,), P* + î* = 2(i + e)'— 4e (sin» (f, + sin* (p,,), p» — ç» = 4e (sin» ç>. — sin» Ç).,) = 4e sin (^. + <p,,) sin (^, — 9m^,),
on aura
4r* = 4 (i + c)* — 8e (sin* (p. + sin* (p...) — 4 sin* ((p. — ^^J
— 4e*sin*((p. + (p.,), ou
r*==cos*((p.— (p.-0+3^c<>s(?>«— ?>.-0c<>s(?>.+ <P«-.)+c'cos\>.4.^^^^ et en extrayant la racine carrée, on obtient ce résultat très simple
r — cos ((P. — (p.«0 + e cos ((p. ^j- ^.,) ,
ou
r = (i + e) cos (p, cos (p,, + (i — e) sin ^, sin ^,,g
Maintenant, si Ton se rappelle que 1 équation transcendante F/bi—FycsF^ est satisfaite par l'équalion algébrique
cos fjt. cos V + un /Â sin y A^ = cos (p ,
on verra qu'en faisant ft = ^, et y = (p,, , ce qui donne F/x— • Fjr sssFf les deux équations précédentes s'accorderont enti^ elles si Ton a
T = A^ et — ; — = cos 0.
Or, ces deux équations sont précisément celles qui déterminent les deux quantités r et e; donc, eti vertu de la construction géométriq^ue que nous avons indiquée, deux sommels consécutif du polygone indéfini qui en résulte sont tels , que si le point M. termine l'açc 2Ça«, , le point suivant M3 terminera Tare ^t^.. Or, dans l'origine de la construction, on a désigné par M^ le point qui termine lare 2^. ; donc alors le point M3 a dû terminer l'arc 2^3 ; et ainsi , en prolongeant le polygone indéfiniment, on obtient successivement toutes les amplitudes ^, ^3, ^4, ^5, etc., qui servent a la multiplication de la fonction F(c, <p), suivant l'équation générale F(c, 0,) = riF (c , (p).
Nous remarquerons que , pour ne pas tomber dans des cas où la construction deviendrait embarrassante , on pourra toujours se borner au cas où l'amplitude donnée <p est moindre que {yr; car toute amplitude plus grande que jTT peut être représentée par r^dz^, ç étant moindre que j TT : alors la fonction correspondante = 2/F'c d=F(c, ^), et cette fonction, multipliée par n, serait 2/i/Fc dt F(c, ^,), en supposant.. • . F(c, <p.) = nF{c, <p).
Lorsqu'on suppose ^ = ^ tt , le rayon du petit cercle r devient nul , et le polygone, dont le premier côté se confond avec le diamètre ÂB, a tous ses côtés superposés sur ce même diamèlre ; alors la construction est sans objet, puisque la fonction F(c, 9) devient égale à la fonction complète F*c, et que la valeur ^ = jTT donne ^, = 7/1^.
207. Nous remarquerons encore que la construction géométrique que nous avons donnée d'après M. Jacobi, qui en est l'inventeur, pourrait servir à trouver la valeur approchée de toute fonction F(c, ^), dont Tarnplitude est donnée, en faisant connaître son rapport avec la. fonction complète F'c. En effet, si l'on continue la construction des différens côtés du polygone jusqu'à ce qu'on trouve dans la si^ite des sommets M^, M3, M4, etc., un point M, qui soit très près de l'une des extrémités du diamètre AB, il est visible qu'eu comptant les circonvolutions du polygone, on saura combien il y a de demi-circonférences dans l'arc 2^, terminé au point lVf«. Soit m le nombre de ces demi-circonférences, on aura donc à très peu près 2^. = /ii;r; par conséquent, F(c, ^.) ou riF (c, (p)z=imF*c
et F(c, ^) = — F'c, valeur facile à évaluer numériquement au moyen
de notre table des fonctions complètes.
