Vu (9.93324 93834) + etc

240. Cette formule peut être employée depuis x^j jusqu'à xss^; mais pourvu que a^ surpasse 2, on pourra faire usage d'une formule

plus simple que donne la substitution x= -; on en tire l -^ — • ■ .

= ^/iTcTT^) ' ^^^^^^ ^^^^ ^ ~Jv(^^y ^^ ^"^^^ ^^ intégrant

par série,

ce qui donne pour le calcul numérique la formule

U = jtt' — Ptt* (9.06214 79067 49) "^ ^^ (9'9^577 i56oi)

H- Pw* (9.62727 67796 81) + Pm* (9.95535 pSagi)

— Ptt* (9.76405 265oo 9) — Pm* (9.95955 55951) . + P«* (9.82705 55573 2) + Pm* (9.94468 99265)

^^^ j — Pm* (9.86545 50954) ~ Pm* (9.9490a oiSia)

H- Pm* (9.88714 67595) H- Pm* (9.95272 i5565)

— Pm* (9-90585 5oo6o) — Pm* (9.95592 15498) + Pm* (9.91621 60443) + etc.

U étant trouvé, on aura 4'* = 4'a — U.

Telles sont les formules les plus simples par lesquelles on poum le plus souvent calculer jusqu'à la dixième, et quelquefois jusqu'à la douzième décimale, ou même au-delà, la valeur de 4^ ^t celle de «^^x. Voici maintenant quelques exemples de ces calculs, qui auront leur application dans les recherches suivantes.

• Exemple /".

241* Les nombres ot et € étant déterminés d'après les formules

//5 — fn\ /3 — m^

OÙ Ton a m= v/5 = 2.256o6 79774 99788; on demande les valeurs de '^et et 'Np^^y approchées jusqu'à la dixième décimale au moins.

Pour obtenir plus facilement les valeurs numériques de a et f, j'observe qu'on a , d'après la table III , tome II ,

i(e + a) =y/^^ZlI?) = a sin 36* = i.ijBBj o5o45 84946,

{(€ — a) = —^ — =:2 — acos56*= 0.38196 60112 5oio6;

1 P f € = 1.55755 65i58 35o52, \ et z= 0.79360 44933 34840.

Pour avoir le logarithme de a, je remarque que 7936 étant le produit de 256 par 3i, on a, par la table de Gardiner,

log (0.7936) = 9.89960 16591 46i22«

Faisant donc ^=0,7936, or = 0.00000 449^^ 5484> et appliquant les formules log (a + a:) = log a + R, log Rca log(î^)~ ^.^ , où

log ce = 9.89960 4^180 9900.

Ensuite , puisqu'on a ceC = m — i = 4 sin 18% on trouve, par la table III, log ct^ = o • 09204 23554 i4o5, et par conséquent

log f = 0.19243 82373 i5o3.

Calcul de ^/a.

242. Puisque, d'après la valeur trouvée, on a a^ < |, il convient de se servir de la formule (12), dont les différens termes, désignés par i), 2), 3), etc., se déduiront de leurs valeurs logarithmiques comme il suit :

iii4

FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQDES,

l) ou CL..... 9.89960 41 180 99