î= ii,48«52 90063 o

Exemple III.

Voici encore quelques exemples qui auront, ainsi que les prëcëdens, leur application dans les recherches suivantes :

4ï = o.5oi5i 9o556 614, 4' j = 0.49871 42706 664 9 4'i =z= 0.93885 14394 40, 4'2 == i.3i485 28467 595.

Les deux premiers ont été calculés par la formule (12), les deux autres par la formule ( 1 5 )•

§ Vn. Application du théorème général au cas de la Jonction

çx = I — x^j et en supposant /jl=z S. ,

:245. Dans cette supposition , nous bornons à cinq le nombre des transcendantes 4-^ ^^ '4^''^ formant le premier membre de l'équation (5}. Parmi ces cinq transcendantes, trois sont censées connues par autant de valeurs particulières de a: prises à volonté, et qui serviront à déterminer deux autres valeurs de a: nécessaires pour compléter le nombre de cinq transcendantes avec lesquelles se forme le premier membre de l'équation (5); et comme sur les trois valeurs arbitraires de jc une, deux et même trois peuvent être supposées nulles, les calculs que nous allons développer s'appliquent non-seulement au cas où les fonctions comprises dans le premier membre de l'équation (3) sont au nombre de cinq , mais encore à plusieurs de ceux où les fonctions sont au nombre de quatre , trois ou même deux seulement.

Cela posé, on sait qu'en faisant m = \/5, le binôme i — ^ est le produit du facteur simple i — * x par les deux facteurs doubles

i + X Ç^. ^ j + jc* et I — -^("i") + ^^> ^^ pourra donc faire

Prenant en même temps 6xs=:a + x et Ô, j: = c + c.jc, il faudra , pour la solution de notre problème, satisfaire à Téquation

(17) {c+c,xyÇi+x.'^+x^)—{a+xy(^i-œ.'^^

=:{X — X,) {X — X^) (X — . Xs) {X — Xj^) {x — JC5),

dans laquelle on remarquera que '(a + x)* est mis k la place de (a^a^xY, qu'indique la forme générale de Gx, parce que le coefficient de x^ devant être le même dans les deux membres, il aurait été nécessaire de £iire (a,y = I , ce qui permet de prendre a^ = i. Si l'on remarquait que les signes du premier membre de l'équation précédente sont contraires à ceux du premier membre de l'équation (2) , considérée comme tjrpe de toutes les autres , nous répondrons qu'on peut changer à la fois les signes

de ç^jc et ^^x, sans changer le produit ^x, et sans rien changer non plus au second membre de 1 équation (3).

Maintenant 1 équation (17) est préparée de manière à satisfaire à tous les cas particuliei^ que nous avons indiqués. Elle ofTre, en général, cinq équations de condition , dont trois sont nécessaires pour déterminer les coefficiens c, c, , a en fonctions des trois quantités prises arbitrairement dans la série x^, x^, x^t Xj^, x^; elle donnera en même temps l'équation du second degré, qui a pour racines les deux autres valeurs particulières de X, prises dans la même série. C'est avec tous ces élémens qu'on formera, pour toutes valeurs données de la fonction entière Jx et de la constante «,^ l'équation (5), qui contient une propriété générale relative à cinq des fonctions désignées par 4^ ^^ '^x.

2^6. Pour considérer d'abord le cas le plus simple, supposons que deux des valeurs arbitraires de x soient nulles; il faudra que chaque membre de l'équation (17) soit divisible par x*, c^est-à-dire que le coefficient de x^ et celui de x soient nuls dans le premier membre; ce qui donnera les deux équations de condition

o = ^ ' (c* + a*) + 2CCt — 3a.

La première permet de prendre az=:c, car le signe de c est à volonté dans le carré (c -|- c^xY, et alors la seconde donnera

Au moyen de ces valeurs, le premier membre de l'équation (17) étant divisé par x*, donnera pour quotient

Le second membre de la même équation, divisé également par x*, ne contiendra plus que trois facteurs

(x — Xt) (x — x^) (x Xs)*

Soit t la valeur prise arbitrairement de l'une des quantités Xt, x^, X3, et soit ic* — pj: + y = o l'équation du second degré, qui a pour racines les deux autres quantités; ce second membre s'exprimera encore par

a ^ 2 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES , ]

{àc — ^ Q (Ar* — px^q)f et ston développement sera

^ — (p + 0^^ + (p^ + q)^ -- qtt

tm *aiih*a 'donc les iroh ëqifeiiofSB

P + t — — (-ir~)^ + ('^ — i)^ + -15—,

/rt-Hh 9 === *^* "-^ ^'O'ï + 0*^ -f- m 4-1,

g/ i= (m + i)c* — (/n + i^- Éliminant ^ et 9 de ces équations., on aura entre c et ^ réqvatioa

— c{(ni — =• i)<* 4- 3(m + i)« — m — \}

4- t' -^ (^^)«' + ('>» + 0«- Celle-ci donnei^a 4a valeur de c en font^ion de •/, «avoir

valeur qu'on aurait trouvée plus directement par la formule du n* a55.

Connaissant le coefficient c, on aura les valeurs de /> et ]jr paf les formules

(iç)) ^ 9 = — ^p -j- 3c» — i (m + i) C + /n + I , ou y = -^ï— (c* — c) ;

et la résolutîoh de Tëquation x* — ^or -f- g = o donnera les deux autres racines x = S, a:== )^, ijui serviront à former le premier membre de lequation (5J.

On voit que par la seule donnée t^ dont la valeur positive doit être plus petite que i , et la valeur négative peut être d'une grandeur quelconque, 011 déterminera d'abord le coefficient c, puis les deux racines X == ^, .r = y, au moyen desquelles la somme des trois fonctions '^t y 4^^ 4^» prises avec des signes convenables, sera ^gale au second membre de l'équation (5), composé en général d'une partie constante, d'une partie algébrique et d'une partie logarithmique, lesqucjltes

TROISIÈME SUPPLÉMENT. aaS

pourront être réduites à une ou à deux, ou prises toutes ensemble, suivant les dlfTérens cas.

247. A l'égard des signes dont ces fonctions doivent être affectées, il suffira de les déteroiiner pour le cas où Ton considère la fonction la plus

/dx — — r; car nous avons déjà dit (218)

que les signes des termes de la somme S^o*^ étant connus , on en déduit facilement ceux des termes de la somme X-^x^ qui s'applique à toute

autre fonction comprise dans la formule générale -^x = f ^^-^^ — ^^.

Nous donnerons ci-après une règle sûre et facile pour déterminer les signes de tous les termes qui composent la somme l'^^x^ quel que soit le nombre des valeurs données de jc, et dans toutes les combinaisons qui pçuvept servir à déterminer tarit les coefficiens des fonctions ^x et 9,^ que les auxiliaires qui, concurremment avec les fonctions données, forment la somme dont il s agit; mais comme nous considérons maintenant le cas de la seule donnée désignée par t^ Temploi de cette règle nest pas absolument nécessaire : d ailleure, nous y suppléerons par une construction géométrique adaptée particulièrement au oas dont nous nous occupons.

Avant de faire çles applications de la fQrniu]e (18), nous deyoqs encore remarquer que cette formule donne deux solutions, h, raison du double signe dont 4/(1 — fi) est susceptible; et, parce qu'on peut aussi changer le signe dç m, en mettant — ^/5 au lieu de -}- ^/5, il est visible que chaque valeur de t fournira quatre solutions, c'est-à-dire qu'il y aura quatre manières de faire en sorte que la fonction donnée 4^ ou -^/t , jointe à deux autres fonction^ de. la même espèce , prises avec des signes convenables, soit égale à une constante déterminée. Il pourra arriver, dans Tune de ces solutions, que les valeurs des deux auxiliaires soient imagiqaires, mais la solution n'en existera pas moins analytiquement.

Maintenant, nous allons faire voir, d^n^ pa assez grand nombre d'exemples appliqués à la simple fonction de première espèce

^x =F= f . ^. , comment on détermine la constante, qui est alors

le second membre de l'équation (5). Cette question, dont il ne parait pas qu'on puisse donner la polutiqp €^ priori et d'une manière générale, mérite de fixer l'attention des analystes, par les résultats très peu variés et très simples qu'on obtient constamment dans les cas p^rtici^içr^.

Exemple /". f = o.

248. Alors on aura les deux valeurs c = o, c = i« Soît, i*. c = o, les équations (19) donneront p = — -—9 9=m-f*i; on aura donc à résoudre l'équation

•^* ~ (^^4^)^ H- m + I = o, d'où résulte

Ces valeurs étant imaginaires, nous ne nous en occuperons pas, quant k présent ; mais en changeant le signe de m , on a une solution réelle , savoir :

Substituant la valeur connue de m , et faisant

ff = 0.56596 53599 43561, log C = 9.75278 98508 o5, y = 2.18399 93486 95455, log y = 0.55925 25045 i856.,

les racines de notre équation seront xz=.^, x=z — y, ainsi le premier membre de l'équation (3) sera ■\>'yd:z-^Q, le signe de 4^ étant encore non déterminé.

•Calcul de •\,C par la formule (12).