iiooS i6ao
u^ 5.80966 laïaS 74oi5 o.o5688 iioo5 33716
a> — 5.45861 6ara57 795 4'f s= i.SrsSi 51772 255.
Avec les valeurs trouvées , on essaiera les combinaisoos suivantes :
4'ff = 1.51281 51772 a55 4'«^ =1 o.aoo88 44010 866
\if'^ Bs 0.77484 8i588 755.
Ainsi , il est visible qu'on a exactement
254* Voici un petit tableau qui contient les cinq résultats troayc» dans nos trois exemples , et dont le nombre pourrait être multiplié indéfiniment^ en prenant pour t d'autres valeurs particulières à volonté.
Trois valeurs (le x, dont une donnée = f, les deux autres conclues.
Équation entre les trois foncstions correspondantes.
et
et, X = — i, 0.56596 53599 43561 , 2.18399 93486 93455.
^'^ — -^ce =
.r =: fit, X = — c,
se = 0.79360 449^^ 34840,
a. 01857 87636 goS.
et
rzT ""• et y X — — ^™" • , = 0.20088 98776 61767 ,
4''ff-4''« = i4,'i.
4'ï + 4^et
=: 1.07468 13734 gS6, = 1.53465 o326g 878,
^^'l 4'ec
o.aoo88 44010 87803, 1.51281 51772 233,
TROISIÈME SUPPLÉMENT. a33
255. On peut, par une construction géométrique, rendre compte des difTérentes valeurs que peut avoir la constante qui forme le second membre de lequation (3) , quand on ne fait entrer que trois fonctions dans le premier membre, c'est-à-dire quand on détermine, d après hes ët[uations ( 1 8) et (19), deux valeurs particulières de x correspondantes à une valeur ^donnée x z=l t. On ti^ouvera que la constante dont il s'agit ne peut avoir que trois valeurs difierentes^ tant que m est pris positivement dans les équations citées.
En effet, si Ton considère t comme l'abscisse et c comme l'ordonnée , l'équation (18) deviendra celle de la courbe tracée dans la fig. 2. L'origine des abscisses étant fixée en A, les abscisses positives ne s'étendent que jus-
qu'à la limite AC = i , où Ton a l'ordonnée extrême Cç = — 31» . dans le
sens négatif AH, les abscisses s'étendent à l'infini.
La courbe dont il s'agit a deux asymptotes B£, DF perpendiculaires à la ligne des abscisses; on détermine leur- position en égalant à zéro le
dénominateur — ^t-i t^^(rn^^\)t — 2 ; il en résulte
Ainsi l'on a les valeurs déjà considérées
AB = \/ic~r^ ~" (~~r^) ~ 0-79560, etc., AD = yjÇ^) + ^^ = X. 55753, etc.
256* Trois branches principales se font remarquer dans cette courbe, qui présente un aspect fort bizarre. Une première branche aabcz est ren- 'fermée dans le biangle indéfini EDCc ; à compter du point m, où l'ordonnée est un minimum, cette branche s'élève d'un côté, pour s'approcher de l'asymptote DFj de l'autre côté elle s'élève jusqu'au point c, où elle touche l'ordonnée Ce, puis, en continuant de nîonter, elle se rapproche de plus en plus de l'asymptote BE.
Une seconde branche lAa€ a dans le sens positif une partie AI qui converge vers l'asymptote verticale BK, et dans le sens positif une autre partie, située tout entière au*<lessus de l'axe, laquelle a po^r asymptote la*
branche supérieure de la p^abole qui a pour équation ^-—7:=-^^^ — h i/a:,
X étant égal à r— t.
ToiiE iri. 5o
La troisième branche est située dans Tangle GDH , où les abscisses et les oiMlennëes sont négatives. A partir du poinfc lu!, où Tordonnée ndgative est un minimum,, la courbe converge graduellement d'un cbXé yers Tasymptole DO , de Tauti^ côté vers la branche inférieure de la parabole
dont Téquation eSt ^ ■ ' jr = -—^ — — ^x.
25j. Si Ton mçne par les points^ c> m^ m' des parallèles à 1».Q, ellœ* partageront l'espace occupé par la courbe en trois zone$ distinçte&t <iui seront afTectées chacune à une cpi^çtante particulière*.
La zone située indéfiniment au - dessus de la parallèle c^ coniprend
toi^te 1^ partiç de la courbe oi\ l'on a^ ç positif et > f'H- ; eUç jouit de
cette propriété , que si a ^ C ^ > sopt les abscî^s^es de trqîs points placé» dans cette zone sur une raçme parallèle à Taxe ^ U somn\Q des. fonctions '\cLy '^^ y '^y^ prises avec les signes convenables, et en changeant y^ en 4' si Tabscisse est négative , sera égale à la constante «s^i — «"^'i = 0.47888 34869 455.
La zone suivante, située entre lea parallèles à Taxe menées par les points c et m, comprend toute la partie de la courbe où l'ordonnée positive c est comprise entre la valeur Ce = — ^^ , et le minimum
Mm = o . 90795 y etc. ; alors la somme des trois fon<>«ions' déterminées par les trois abscisses qui répondent à une nj^me yaleur de c , est égale à la constante -vl/i +î >|/'^ = 2.02857 87636 go5.
Enfin ^ la troisièn^ê zone, placée au-dessou»de la. parallèle mfj", comprend la portion de courbe dans laquelle l'ordonnée c est négative et plufs grande que le minimum m^W'=a: i .7761.5^ etc. DofîSi.ceUe sQuerla constante. sei:% 4 V '+■•1 ^'^ • =^ • S^78ïî7 ^04 14 5^5,
Qp YQit,, d^ plus, qu'il existe un§ q^atrij^^i^: zone Gompi4s«: ent»! Im' dei^ parajjlèlfis w^.,. m'^f^^ uou^nées p^^ le^. ppiipts m. ei /^^ où IfordomuSe cet uij rnirHfnum.^ afois tOïïJp. parallèlej ^ Tajjçe, menée ^m dedans de cett«î zone, ne renconï;]çera qu,e la b.i;ajQ«he dç çow'tç. lA, c^cjui signifia qw les.dem autres intersections sont imagipaiiiQ^.
358,. ]?^s,ajp.uterQps.eûfioreîqi?e d3ft8;cbaquft zpae qq: p^ut détennuier géi)éi»Jpnïent,les ^îgne^.dfts tfoi^ fonctioiftp 4, ou, 4' ^«*» cowposea» le- ■ mier i»P.mbi;e 4fi.i;équ^tfiA (5)..
Soient cky — ff, — ^. les abscisses des points dans lesq^uels. tQUte parais lèle à l'axe, menée. dans la première zone^ rencontre la courbe, on aura fit > AB , f < AD , y > AD , et 1 équation des fonctions sera , sans au-
TROISIÈiME SUPPLÉMENT. i55
cnne ambigtiité,
En effet, dans la limite supérieure , lorsque c = ^ ^ on a a = AB^ b =. AD et y = i; alors Téqualion devient 4 (AB) + 4' (Aï)) = 4 1 + f 4' f ^ cofrime on Ta déjà trouvée (:t54)'
Dans la limite inférieure, on a c:=.-^^^^ a = i ^ C sas o.'jiSga,..^
y ±-: 4-5ioi5.r.; alors Téquàtion devient
4, + 4'e 4/^ = 4' i4'i, ou 4^> - 4'^ =n= H'^i
équation comprise dans notre tableau (art. a540
. Dans la seconde zone , il y a deux cas qui donnent lieu h deux équations
de forme différente*
Premier cas. Si la parallèle est menée dans la partie supérieure de la 2KMDe I entre le« potallèles^ C'^ et ba, lés abscisséâf âé§ ftois pôititsf d'iil^ tersectîûct seront désignées^ coâime dfths la p^emiÀre 20Mf, p^r^e, -^S, — *7, avec cette scrute différence qo'on aura j6<o.^i5$!y. 4. et y <^ 4.520...; l'équation des fonctions sera , dans ce cas ,
Cette équation se vérifie immédiatement sur les parallèles ctf et ba.
Second cas. Si la parallèle est menée dans la partie inférieure de la zone, d'est-à-dire entre les parallèles ba et my j appelons a, C, — y les aî^scissës des points d'intersection^ on aura l'écpuation
Celle-ci est liée avec la précédente par la loi de continuité , car si 6 devient — €, 4^ se changera en — 4'^*
Dans la troisième sectidti , où l'ordonnée c est constamment négative et prend tout.es les valeurs, depuis le minimum MW=: i. 7761 3.... jusqu'à l'infini, soient a, — ^f v— > les abscisses des points d'intersection d'une parallèle à Paxe avec la courbe , on aura a < AB ^ C> AD , y> AM', et réqjnatîon des £Dûctions serii
Cette équation se vérifie à la première limite, où l'on sl €=±y, ainsi qn^on le montrera, en aptes j^ elfosei^érifie égaleikietft kht deVfiièi^ liittite , où c = -~7, car alors pn a A':ist^AB, € mi A3 et ^=4**^. L'équatioh dé»
fonctions devient, dans ce cas particulier, -nKAB) + %P'(AD) -f- 4,'^ = 4i + l4'i, ou >KAB) + 4'(AD)=4i+i4'^; ce qui s'accorde . avec le deuxième cas du tableau (art. 254).
25ç). Par cette énumération des différens cas, on voit qu'il importe de fixer la position des points m et m' où l'ordonnée est un minimum, puisque ces points déterminent, Tun la limite inférieure de la seconde zone, Tautre la limite supérieure de la troisième. •
Désignons toujoui^ par t Tabscisse AM du point m, et par c Tordonnée Mm; réquation ( 1 8), mise sobs la forme rationnelle, sera o=Ac*+3Bc-f-aD, en faisant, pour abréger,
Dans le cas du minimum de la quantité c, on pourra différentier, par rapport à t, réquation o = Ac* — aBc -hnD, en regardant c comme constante ; ce qui donnera une seconde équation o = A'c* — 2B'c -4- 2D',
où Ton suppose
Éliminant c de ces deux équations, on aura, pour déterminer t, 1 équation
